সরল ছন্দিত গতির দশা পার্থক্য নির্ণয়

টর্কের মান নির্ণয়

দেয়া আছে:

কণার অবস্থান ভেক্টর, \(\vec{r} = 5\hat{i} + 3\hat{j} + 1\hat{k} \, \text{m}\)
প্রযুক্ত বল, \(\vec{F} = -3\hat{i} + 7\hat{j} \, \text{N}\)

নির্ণেয়:

টর্ক, \(\vec{\tau}\) = ?

সূত্র:

টর্ক, \(\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}\)

সমাধান:

\(\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & 3 & 1 \\ -3 & 7 & 0 \end{vmatrix}\)

\(\vec{\tau} = \hat{i}(3 \times 0 – 1 \times 7) – \hat{j}(5 \times 0 – 1 \times (-3)) + \hat{k}(5 \times 7 – 3 \times (-3))\)

\(\vec{\tau} = -7\hat{i} – 3\hat{j} + (35 + 9)\hat{k}\)

\(\vec{\tau} = -7\hat{i} – 3\hat{j} + 44\hat{k} \, \text{N.m}\)

টর্কের মান, \(|\vec{\tau}| = \sqrt{(-7)^2 + (-3)^2 + (44)^2}\)

\(|\vec{\tau}| = \sqrt{49 + 9 + 1936}\)

\(|\vec{\tau}| = \sqrt{1994}\)

\(|\vec{\tau}| \approx 44.65 \, \text{N.m}\)

উত্তর:

টর্কের মান 44.65 N.m। 🎉

বলের ত্বরণ নির্ণয়:

• বলের ভর, \( m = 1.5 \) kg
• বাতাসের বাধা, \( F_{resistance} = 7.5 \) N

• বলের ত্বরণ, \( a = ? \) m/s²

🧑‍🏫বৃত্তাকার পথে বস্তুর ঘূর্ণন: সুতার টান নির্ণয় 🧵

দেওয়া আছে:

নির্ণয় করতে হবে:

সমাধান:

উত্তর:

দেওয়া আছে,

• ভর, \( m = 300 \, \text{g} = 0.3 \, \text{kg} \)
• সরণ, \( x = 0.20 \, \text{m} \)
• প্রত্যায়নী বল, \( F = 0.24 \, \text{N} \)

আমরা জানি, সরল ছন্দিত গতির ক্ষেত্রে প্রত্যায়নী বল \( F = -kx \), যেখানে \( k \) হলো বল ধ্রুবক।

সুতরাং, \( k = \frac{F}{x} = \frac{0.24 \, \text{N}}{0.20 \, \text{m}} = 1.2 \, \text{N/m} \)

দোলনকাল \( T \) নির্ণয়ের জন্য আমরা নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করতে পারি:

এখন, \( m \) এবং \( k \) এর মান বসিয়ে পাই,

অতএব, বলটির দোলনকাল 3.14 s। 🥳

প্রশ্নের সমাধান

একটি বস্তুকে \( 50 \, \text{m/s} \) বেগে ভূমির সাথে \( 40^\circ \) কোণে নিক্ষেপ করা হলো। বস্তুটি \( t_1 \) ও \( t_2 \) সময়ে \( 38 \, \text{m} \) উচ্চতার দুইটি বিন্দু অতিক্রম করে। \( (t_2 – t_1) \) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

উল্লম্ব বেগ, \( v_y = v \sin(\theta) = 50 \sin(40^\circ) \approx 32.14 \, \text{m/s} \)

উল্লম্ব দিকে অতিক্রান্ত দূরত্ব, \( h = v_y t – \frac{1}{2} g t^2 \), যেখানে \( h = 38 \, \text{m} \) এবং \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \)

সুতরাং, \( 38 = 32.14 t – \frac{1}{2} (9.8) t^2 \)

বা, \( 4.9 t^2 – 32.14 t + 38 = 0 \)

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এর সমাধান \( t_1 \) ও \( t_2 \) হবে।

আমরা জানি, \( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \)

এখানে, \( a = 4.9 \), \( b = -32.14 \), \( c = 38 \)

\( t = \frac{32.14 \pm \sqrt{(-32.14)^2 – 4 \times 4.9 \times 38}}{2 \times 4.9} \)

\( t = \frac{32.14 \pm \sqrt{1033.0 – 744.8}}{9.8} \)

\( t = \frac{32.14 \pm \sqrt{288.2}}{9.8} \)

\( t = \frac{32.14 \pm 16.98}{9.8} \)

সুতরাং, \( t_1 = \frac{32.14 – 16.98}{9.8} \approx 1.55 \, \text{s} \)

এবং \( t_2 = \frac{32.14 + 16.98}{9.8} \approx 5.01 \, \text{s} \)

অতএব, \( t_2 – t_1 = 5.01 – 1.55 = 3.46 \, \text{s} \)

সুতরাং, \( (t_2 – t_1) \) এর মান \( 3.46 \, \text{s} \)। 🎉

200 gm ভরের একটি কণার বেগ \( \vec{v} = 2\hat{i} + 6\hat{j} \) m/s হলে, কণাটির গতিশক্তি নির্ণয়:

ভর, m = 200 gm = 0.2 kg

বেগ, \( \vec{v} = 2\hat{i} + 6\hat{j} \) m/s

বেগের মান, \( v = |\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} \) m/s

গতিশক্তি, KE = \( \frac{1}{2}mv^2 \)

KE = \( \frac{1}{2} \times 0.2 \times (\sqrt{40})^2 \)

KE = \( \frac{1}{2} \times 0.2 \times 40 \)

KE = 0.1 × 40 = 4 J

অতএব, কণাটির গতিশক্তি 4 J। 🎉

কণাটির উপর \( \vec{F} \) কর্তৃক কৃত কাজ নির্ণয়:

স্থির তাপমাত্রায় আদর্শ গ্যাসের P-V লেখচিত্র: একটি বিশ্লেষণ 🌡️

স্থির তাপমাত্রায় একটি আদর্শ গ্যাসের চাপ (P) এবং আয়তনের (V) মধ্যে সম্পর্ক একটি বিশেষ লেখচিত্রের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। এই লেখচিত্রটি “আয়তকার অধিবৃত্ত” (Rectangular Hyperbola) নামে পরিচিত। নিচে এর কারণ এবং বৈশিষ্ট্য আলোচনা করা হলো:

📚 বয়েলের সূত্র (Boyle’s Law)

এই লেখচিত্রের মূল ভিত্তি হলো বয়েলের সূত্র। সূত্রটি হলো:

“স্থির তাপমাত্রায়, নির্দিষ্ট ভরের কোনো গ্যাসের আয়তন তার চাপের সাথে ব্যস্তানুপাতিক।”

গাণিতিকভাবে, একে লেখা যায়:

P ∝ 1/V (যখন তাপমাত্রা স্থির)

অথবা,

PV = ধ্রুবক (Constant)

📈 লেখচিত্রের বৈশিষ্ট্য

• আয়তকার অধিবৃত্ত (Rectangular Hyperbola): P-V লেখ একটি আয়তকার অধিবৃত্ত, যেখানে চাপ (P) y-অক্ষ বরাবর এবং আয়তন (V) x-অক্ষ বরাবর স্থাপন করা হয়।
• অসীম স্পর্শী (Asymptotes): লেখচিত্রটি উভয় অক্ষকে অসীমে স্পর্শ করে, কিন্তু কখনোই ছেদ করে না। এর কারণ হলো, গ্যাসের চাপ বা আয়তন কখনোই শূন্য হতে পারে না।
• চাপ ও আয়তনের সম্পর্ক: লেখ থেকে স্পষ্ট বোঝা যায়, চাপ বাড়লে আয়তন কমে এবং চাপ কমলে আয়তন বাড়ে।

📊 P-V লেখচিত্রের টেবিল

💡 বাস্তব উদাহরণ

বেলুন 🎈: বেলুনকে চাপ দিলে এর আয়তন কমে যায়, যা বয়েলের সূত্রের একটি বাস্তব উদাহরণ।

সিরিঞ্জ 💉: সিরিঞ্জের পিস্টন টেনে আয়তন বাড়ানো হলে ভেতরের চাপ কমে যায়।

⚠️ সতর্কতা

আদর্শ গ্যাস (Ideal Gas) একটি তাত্ত্বিক ধারণা। বাস্তব গ্যাস (Real Gas) উচ্চ চাপে এবং নিম্ন তাপমাত্রায় আদর্শ গ্যাসের আচরণ থেকে বিচ্যুত হতে পারে।

🔗 সম্পর্কিত বিষয়

• চার্লসের সূত্র (Charles’s Law)
• অ্যাভোগাড্রোর সূত্র (Avogadro’s Law)
• আদর্শ গ্যাস সমীকরণ (Ideal Gas Equation)

🤔 কিছু প্রশ্ন

1. বয়েলের সূত্রটি কী?
2. P-V লেখচিত্রটি কেমন হবে যদি তাপমাত্রা স্থির না থাকে?
3. আদর্শ গ্যাস এবং বাস্তব গ্যাসের মধ্যে পার্থক্য কী?

আশা করি, এই ব্যাখ্যাটি P-V লেখচিত্র সম্পর্কে আপনার ধারণা স্পষ্ট করতে সাহায্য করবে।Happy learning! 🧑‍🏫📚✨

কেপলারের দ্বিতীয় সূত্র: কৌণিক ভরবেগের নিত্যতা 🚀

কেপলারের দ্বিতীয় সূত্রানুসারে, কোনো গ্রহ যখন সূর্যের চারিদিকে ঘোরে, তখন তার ব্যাসার্ধ ভেক্টর সমান সময়ে সমান ক্ষেত্রফল অতিক্রম করে। এই সূত্রটি ??সলে কৌণিক ভরবেগের নিত্যতা থেকে প্রতিপাদন করা যায়। নিচে বিস্তারিত আলোচনা করা হলো:

কৌণিক ভরবেগ (Angular Momentum) 🔄

কৌণিক ভরবেগ হলো ঘূর্ণন গতি??? পরিমাপ। কোনো বস্তুর কৌণিক ভরবেগ (L) নির্ণয় করা হয় তার রৈখিক ভরবেগ (p) এবং ঘূর্ণন অক্ষ থেকে দূরত্বের (r) গুণফলের মাধ্যমে:

• L = কৌণিক ভরবেগ
• r = ঘূর্ণন অক্ষ থেকে বস্তুর দূরত্ব
• p = রৈখিক ভরবেগ
• m = বস্তুর ভর
• v = বস্তুর বেগ

সূর্যকে প্রদক্ষিণকালে কৌণিক ভরবেগের নিত্যতা ☀️

যখন কোনো গ্রহ সূর্যের চারিদিকে ঘোরে, তখন সূর্যের সাপেক্ষে তার কৌণিক ভরবেগ ধ্রুব থাকে। এর কারণ হলো গ্রহের উপর ক্রিয়াশীল একমাত্র বল হলো সূর্যের মহাকর্ষ বল, যা কেন্দ্রাভিমুখী। এই বল কোনো টর্ক সৃষ্টি করে না। যেহেতু টর্ক (torque) কৌণিক ভরবেগের পরিবর্তনের হার, তাই টর্কের অনুপস্থিতিতে কৌণিক ভরবেগ ধ্রুব থাকে।

ক্ষেত্রফলের হার (Areal Velocity) 🌠

ক্ষেত্রফলের হার হলো একক সময়ে গ্রহের ব্যাসার্ধ ভেক্টর দ্বারা অতিক্রান্ত ক্ষেত্রফল। কৌণিক ভরবেগের নিত্যতার সাথে এর সম্পর্ক নিম্নরূপ:

• dA = অতি অল্প সময়ে অতিক্রান্ত ক্ষেত্রফল
• dt = অতি অল্প সময়
• L = কৌণিক ভরবেগ
• m = গ্রহের ভর

ব্যাখ্যা

উপরের সমীকরণ থেকে স্পষ্ট যে, কৌণিক ভরবেগ (L) ধ্রুব থাকলে ক্ষেত্রফলের হার (dA/dt)-ও ধ্রুব হবে। অর্থাৎ, গ্রহটি সমান সময়ে সমান ক্ষেত্রফল অতিক্রম করবে। এটাই কেপলারের দ্বিতীয় সূত্র।

সূত্রের প্রমাণ 🤔

কেপলারের দ্বিতীয় সূত্র প্রমাণ করার জন্য, আমরা প্রথমে একটি গ্রহের সূর্যের চারিদিকে চলার পথে ক্ষুদ্র সময় dt বিবেচনা করি। এই সময়ে গ্রহটি dA ক্ষেত্রফল অতিক্রম করে। এই ক্ষেত্রফল একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের প্রায় সমান, যার ভূমি r এবং উচ্চতা v dt sinθ (যেখানে θ হলো r এবং v এর মধ্যবর্তী কোণ)।

সারণী 📊

গুরুত্বপূর্ণ বিষয় 🌟

• কৌণিক ভরবেগের নিত্যতা মহাকর্ষীয় বলের অধীনে ঘূর্ণায়মান যে কোনও বস্তুর জন্য প্রযোজ্য।
• কেপলারের দ্বিতীয় সূত্র গ্রহের কক্ষপথের বেগের পরিবর্তন ব্যাখ্যা করে। যখন গ্রহ সূর্যের কাছে থাকে, তখন তার বেগ বাড়ে এবং যখন দূরে থাকে, তখন বেগ কমে যায়।
• এই সূত্র নিউটনের মহাকর্ষ সূত্রের একটি গুরুত্বপূর্ণ পরিণতি।

আশা করি, এই আলোচনা থেকে কেপলারের দ্বিতীয় সূত্র এবং কৌণিক ভরবেগের নিত্যতার মধ্যে সম্পর্ক স্পষ্ট হয়েছে। 😊

বিভবশক্তি ও গতিশক্তি 🚀

দেওয়া আছে, একটি নির্দিষ্ট উচ্চতায় বস্তুর বিভবশক্তি \( U = 500 \ J \)। বস্তুটিকে স্থির অবস্থা থেকে ছেড়ে দেওয়া হলো।

যখন বস্তুটি ভূমি থেকে পূর্বের উচ্চতার এক চতুর্থাংশে পৌঁছাবে, তখন তার গতিশক্তি নির্ণয় করতে হবে।

সমাধান 👇

ধরি,Initial Height \( h \)

সুতরাং,initial বিভবশক্তি, \( U = mgh = 500 \ J \) হবে।

যখন বস্তুটি \( \frac{h}{4} \) উচ্চতায় পৌঁছাবে, তখন ভূমি থেকে উচ্চতা হবে \( \frac{h}{4} \)।

সুতরাং, \( \frac{h}{4} \) উচ্চতায় বিভবশক্তি \( U’ = mg \frac{h}{4} = \frac{mgh}{4} \)

যেহেতু \( mgh = 500 \ J \), তাই \( U’ = \frac{500}{4} = 125 \ J \)

বস্তুটির মোট শক্তি \( E = 500 \ J \) (যেহেতু initially শুধুমাত্র বিভবশক্তি ছিল)

\( \frac{h}{4} \) উচ্চতায় গতিশক্তি \( K \) হলে, \( E = U’ + K \)

সুতরাং, \( K = E – U’ = 500 – 125 = 375 \ J \)

অতএব, বস্তুটি ভূমি থেকে পূর্বের উচ্চতার এক চতুর্থাংশে পৌঁছালে এর গতিশক্তি \( 375 \ J \) হবে। 🎉

সেকেন্ড দোলকের দৈর্ঘ্য নির্ণয়

আমরা জানি, সেকেন্ড দোলকের দোলনকাল \(T = 2\) সেকেন্ড।

দোলনকালের সূত্রানুসারে, \(T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\)

এখানে,

• \(T\) = দোলনকাল = 2s
• \(l\) = দোলকের দৈর্ঘ্য (নির্ণেয়)
• \(g\) = অভিকর্ষজ ত্বরণ = \(\pi\) ms^-2

সুতরাং, \(2 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{\pi}}\)

বা, \(1 = \pi \sqrt{\frac{l}{\pi}}\)

বা, \(\frac{1}{\pi} = \sqrt{\frac{l}{\pi}}\)

উভয় দিকে বর্গ করে পাই,

\(\frac{1}{\pi^2} = \frac{l}{\pi}\)

অতএব, \(l = \frac{\pi}{\pi^2} = \frac{1}{\pi}\) মিটার 🤩

সুতরাং, সেকেন্ড দোলকের দৈর্ঘ্য \(\frac{1}{\pi}\) মিটার।

y = A sin(kx + ωt) একটি অগ্রগামী তরঙ্গ। 🧐

এখানে, k = তরঙ্গ সংখ্যা এবং ω = কৌণিক কম্পাঙ্ক। 🤔

তরঙ্গটির সাধারণ সমীকরণ: y = A sin(kx ± ωt) 🤓

যদি ‘+’ চিহ্ন থাকে, তবে তরঙ্গটি ঋণাত্মক x-অক্ষ বরাবর অগ্রসর হয়। 😲

যদি ‘-‘ চিহ্ন থাকে, তবে তরঙ্গটি ধনাত্মক x-অক্ষ বরাবর অগ্রসর হয়। 🤩

যেহেতু আমাদের সমীকরণে ‘+’ চিহ্ন আছে, তাই তরঙ্গটি ঋণাত্মক x-অক্ষ অর্থাৎ -x অক্ষ বরাবর অগ্রসর হচ্ছে।🥳

সুতরাং, উত্তর: \( -x \)।😎

গ্রহের মুক্তিবেগ নির্ণয় 🚀

বৃত্তাকার চাকতির ক্ষেত্রফলের শতকরা ত্রুটি নির্ণয়

বৃত্তাকার চাকতির ব্যাসার্ধ \( r = 5.0 \pm 0.1 \) একক। ক্ষেত্রফলের শতকরা ত্রুটি নির্ণয় করতে হবে। 🧐

আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল, \( A = \pi r^2 \)।

ক্ষেত্রফলের ত্রুটি, \( \Delta A \) এবং ব্যাসার্ধের ত্রুটি \( \Delta r \) হলে, আমরা লিখতে পারি:

\( \frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r} \) 😮

এখানে, \( r = 5.0 \) এবং \( \Delta r = 0.1 \)।

সুতরাং, \( \frac{\Delta A}{A} = 2 \times \frac{0.1}{5.0} = 2 \times 0.02 = 0.04 \) 😊

শতকরা ত্রুটি \( = \frac{\Delta A}{A} \times 100\% = 0.04 \times 100\% = 4\% \) 🤔

কিন্তু প্রদত্ত উত্তর 6%, তাই উত্তরের যথার্থতা যাচাই করা প্রয়োজন। সাধারণত পরীক্ষাগারে,পরিমাপকৃত রাশি সরাসরি ব্যবহার না করে একাধিকবার পরিমাপ করে গড় মান বের করা হয়। এখানে সরাসরি মান ব্যবহার করা হয়েছে। 😒

যদি প্রশ্নে অন্য কোনো তথ্য দেওয়া না থাকে, তবে ক্ষেত্রফলের শতকরা ত্রুটি \( 4\% \) ই হবে। 🙏

যদি প্রশ্নে উল্লেখিত উত্তর \( 6\% \) হয়, তবে সম্ভবত ব্যাসার্ধের ত্রুটি \( \Delta r = 0.15 \) ধরা হয়েছে। সেক্ষেত্রে,

\( \frac{\Delta A}{A} = 2 \times \frac{0.15}{5.0} = 2 \times 0.03 = 0.06 \)

এবং শতকরা ত্রুটি \( = 0.06 \times 100\% = 6\% \) হবে। 👍

অতএব, প্রশ্নের প্রদত্ত তথ্যের উপর নির্ভর করে উত্তর ভিন্ন হতে পারে। 😊

দেওয়া আছে:

• স্প্রিং ধ্রুবক, \( k = 1 \text{ N/m} \)
• সংকোচন, \( x = 0.1 \text{ m} \)

নির্ণয় করতে হবে:

স্প্রিং এর বিভব শক্তি, \( U = ? \)

সূত্র:

স্প্রিং এর বিভব শক্তি, \( U = \frac{1}{2} k x^2 \)

সমাধান:

\( U = \frac{1}{2} \times 1 \text{ N/m} \times (0.1 \text{ m})^2 \)

\( U = \frac{1}{2} \times 1 \times 0.01 \text{ J} \)

\( U = 0.005 \text{ J} \)

\( U = 5 \times 10^{-3} \text{ J} \)

সুতরাং, স্প্রিংটির বিভব শক্তি \( 5 \times 10^{-3} \text{ J} \)। 🥳

নিউটনের মূল গড় বর্গবেগ নির্ণয় 🚀

আমরা জানি, কোনো গ্যাসের গড় গতিশক্তি \( \frac{3}{2} k_B T \) যেখানে \( k_B \) হলো বোল্টসম্যান ধ্রুবক এবং \( T \) হলো তাপমাত্রা।

একটি নিউটনের গতিশক্তি \( \frac{1}{2} m v_{rms}^2 \) এর সমান, যেখানে \( m \) হলো নিউটনের ভর এবং \( v_{rms} \) হলো মূল গড় বর্গবেগ। 🤓

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:

\( \frac{1}{2} m v_{rms}^2 = \frac{3}{2} k_B T \)

এখান থেকে, \( v_{rms} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}} \)

প্রদত্ত মানসমূহ:

• ভর, \( m = 1.675 \times 10^{-27} \) kg
• তাপমাত্রা, \( T = 27^\circ C = 27 + 273.15 = 300.15 \) K
• বোল্টসম্যান ধ্রুবক, \( k_B = 1.38 \times 10^{-23} \) J/K

গণনা:

\( v_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300.15}{1.675 \times 10^{-27}}} \)

\( v_{rms} = \sqrt{\frac{1.242618 \times 10^{-20}}{1.675 \times 10^{-27}}} \)

\( v_{rms} = \sqrt{7.4183 \times 10^{6}} \)

\( v_{rms} \approx 2723.65 \) m/s

সংশোধন 🤔

প্রদত্ত উত্তরটির(1572 m/s) সাথে calculation এর মিল নেই। সম্ভবত প্রশ্নকর্তার হিসাবে ভুল হয়েছে।

যদি উত্তর 1572 m/s হতে হয়, তবে তাপমাত্রা অন্য কিছু হতে হবে। 😊

যাইহোক, সঠিক গণনা অনুযায়ী উত্তর \( \approx 2723.65 \) m/s।

প্রাসের অনুভূমিক বেগ নির্ণয়

দেয়া আছে:

• অনুভূমিক পাল্লা, \(R = 9.8\) m

বের করতে হবে:

• অনুভূমিক বেগ, \(v_x = ?\)

সমাধান:

আমরা জানি, অনুভূমিক পাল্লা \( R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \), যেখানে \( v_0 \) হল প্রক্ষেপণ বেগ, \( \theta \) হল প্রক্ষেপণ কোণ এবং \( g \) হল অভিকর্ষজ ত্বরণ।

সর্বাধিক অনুভূমিক পাল্লার জন্য, \( \theta = 45^\circ \)। সুতরাং, \( \sin(2\theta) = \sin(90^\circ) = 1 \)।

অতএব, \( R = \frac{v_0^2}{g} \) হয়।

সুতরাং, \( v_0^2 = R \cdot g \)

\( v_0 = \sqrt{R \cdot g} \)

এখানে, \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \) এব?? \( R = 9.8 \, \text{m} \)।

সুতরাং, \( v_0 = \sqrt{9.8 \cdot 9.8} = 9.8 \, \text{m/s} \)

অনুভূমিক বেগ \( v_x = v_0 \cos(\theta) \)। যেহেতু \( \theta = 45^\circ \), তাই \( \cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \)।

অতএব, \( v_x = 9.8 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{9.8}{\sqrt{2}} \approx 6.93 \, \text{m/s} \)

সুতরাং, ভূপৃষ্ঠে ফিরে আসার মুহূর্তে প্রাসের অনুভূমিক বেগ 6.93 m/s। 🚀

উত্তর: 6.93 m/s

প্রদত্ত অগ্রগামী তরঙ্গের সমীকরণ:

\( y = 0.2 \sin(3\pi 100x – 18\pi t) \)

সাধারণ অগ্রগামী তরঙ্গের সমীকরণ:

\( y = A \sin(kx – \omega t) \)

তুলনা করে পাই,

তরঙ্গ সংখ্যা, \( k = 3\pi 100 \)

কৌণিক কম্পাঙ্ক, \( \omega = 18\pi \)

কম্পাঙ্ক \( (f) \) এবং কৌণিক কম্পাঙ্কের \( (\omega) \) মধ্যে সম্পর্ক:

\( \omega = 2\pi f \)

অতএব,

\( f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{18\pi}{2\pi} = 9 \) Hz 🎉

বেগ \( (v) \) এবং কৌণিক কম্পাঙ্ক \( (\omega) \) ও তরঙ্গসংখ্যার \( (k) \) মধ্যে সম্পর্ক:

\( v = \frac{\omega}{k} \)

অতএব,

\( v = \frac{18\pi}{3\pi 100} = \frac{6}{100} = 0.06 \) ms^-1 ✨

সুতরাং, কম্পাঙ্ক \( 9 \) Hz এবং বেগ \( 0.06 \) ms^-1। 🤔 দে??য়া উত্তরটির সাথে মিল নেই। সম্ভবত প্রশ্ন অথবা উত্তরে কোথাও ভুল আছে।

যদি তরঙ্গ সমীকরণটি \( y = 0.2 \sin(300\pi x – 18\pi t) \) হয়, তবে:

\( k = 300\pi \)

\( \omega = 18\pi \)

\( f = \frac{18\pi}{2\pi} = 9 \) Hz

\( v = \frac{18\pi}{300\pi} = \frac{18}{300} = \frac{6}{100} = 0.06 \) m/s

যদি কৌণিক কম্পাঙ্ক \( \omega = 19200\pi \) rad/s হয়, তবে:

\( f = \frac{19200\pi}{2\pi} = 9600 \) Hz

কিন্তু সেক্ষেত্রে বেগের মান \( 3\pi 100 \) এর সাপেক্ষে পরিবর্তন করতে হবে।

দেওয়া উত্তরটির সাপেক্ষে প্রশ্নটি সম্ভবত ত্রুটিপূর্ণ। 😐

ত্বরণ নির্ণয় 🚀

একটি কণার বেগ \(v(t) = 20t + 3\) m/s দ্বারা প্রকাশ করা হয়েছে। আমাদের ত্বরণ \(a\) নির্ণয় করতে হবে।

আমরা জানি, ত্বরণ \(a\) হলো বেগের পরিবর্তনের হার, অর্থাৎ \(a = \frac{dv}{dt}\)।

এখানে, \(v(t) = 20t + 3\)। সুতরাং, \(a = \frac{d}{dt}(20t + 3)\)

আমরা যদি \(t\) এর সাপেক্ষে \(20t + 3\) এর অন্তরীকরণ করি, তাহলে পাই: \(a = 20\) m/s²

অতএব, কণাটির ত্বরণ \(20\) m/s²। 🎉

শব্দ কোন মাধ্যমে দ্রুত প্রবাহিত হয়: ইস্পাত 🚀

সাধারণভাবে, শব্দ কঠিন মাধ্যমে সবচেয়ে দ্রুত প্রবাহিত হয়। এর কারণ হল কঠিন পদার্থের অণুগুলো খুব কাছাকাছি এবং দৃঢ়ভাবে আবদ্ধ থাকে। ফলে শব্দের কম্পন দ্রুত এক অণু থেকে অন্য অণুতে সঞ্চালিত হতে পারে।💨

বিভিন্ন মাধ্যমে শব্দের বেগ

বিভিন্ন মাধ্যমে শব্দের বেগ নিচে দেওয়া হলো:

• বায়ু 💨: প্রায় ৩৪৩ মিটার/সেকেন্ড (২৫° সেলসিয়াস তাপমাত্রায়)
• পানি 💧: প্রায় ১৪৮০ মিটার/সেকেন্ড
• ইস্পাত 🔩: প্রায় ৫৯৬০ মিটার/সেকেন্ড

উপরের তালিকা থেকে স্পষ্ট বোঝা যাচ্ছে যে, ইস্পাতে শব্দের বেগ অন্যান্য মাধ্যমের তুলনায় অনেক বেশি। 📈

কেন ইস্পাতে শব্দের বেগ বেশি? 🤔

ইস্পাতে শব্দের বেগ বেশি হওয়ার প্রধান কারণগুলো হলো:

1. ঘনত্ব: ইস্পাতের ঘনত্ব বায়ু এবং পানির তুলনায় অনেক বেশি। ⚖️
2. স্থিতিস্থাপকতা: ইস্পাত একটি স্থিতিস্থাপক পদার্থ। এর অণুগুলো কম্পন দ্রুত সঞ্চালিত করতে পারে। ↔️
3. পারমাণবিক গঠন: ইস্পাতের পারমাণবিক গঠন অন্যান্য পদার্থের তুলনায় ভিন্ন, যা শব্দ তরঙ্গকে দ্রুত ছড়িয়ে দিতে সাহায্য করে। ⚛️

মাধ্যম ভেদে শব্দের গতিবেগের তুলনা

এই টেবিলটি বিভিন্ন মাধ্যমে শব্দের গতির একটি স্পষ্ট চিত্র প্রদান করে। 📊

গুরুত্বপূর্ণ বিষয়াবলী 📌

• শব্দের বেগ মাধ্যমের ঘনত্বের উপর নির্ভরশীল। 📦
• তাপমাত্রা বাড়লে শব্দের বেগ সামান্য বৃদ্ধি পায়। 🔥
• কঠিন মাধ্যমে শব্দের বেগ সবচেয়ে বেশি, এরপর তরল এবং গ্যাসীয় মাধ্যমে তুলনামূলকভাবে কম। 🧊➡️💧➡️💨

আশা করি, এই আলোচনা থেকে তোমরা জানতে পারলে কেন শব্দ ইস্পাতে সবচেয়ে দ্রুত প্রবাহিত হয়। 😊

ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র ব্যবহার করে সমাধান:

কৌশিক নলে পানির উচ্চতা নির্ণয়

প্রদত্ত:

• নলের ব্যাস, \(d = 0.2 \text{ mm} = 0.2 \times 10^{-3} \text{ m}\)
• নলের ব্যাসার্ধ, \(r = \frac{d}{2} = 0.1 \times 10^{-3} \text{ m}\)
• পৃষ্ঠটান, \(T = 7.2 \times 10^{-2} \text{ N/m}\)
• ঘনত্ব, \(\rho = 10^3 \text{ kg/m}^3\)
• অভিকর্ষজ ত্বরণ, \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\) (ধরে নেওয়া হল)
• স্পর্শ কোণ, \(\theta = 0^\circ\) (পানির জন্য, ধরে নেওয়া হল)

নির্ণেয়:

নলের মধ্যে পানির উচ্চতা, \(h = ?\)

সূত্র:

কৌশিক নলের ক্ষেত্রে, \(h = \frac{2T \cos\theta}{r\rho g}\)

গণনা:

মান বসিয়ে পাই,

\(h = \frac{2 \times 7.2 \times 10^{-2} \times \cos(0^\circ)}{0.1 \times 10^{-3} \times 10^3 \times 9.8}\)

\(h = \frac{2 \times 7.2 \times 10^{-2} \times 1}{0.1 \times 10^{-3} \times 10^3 \times 9.8}\)

\(h = \frac{0.144}{0.0001 \times 1000 \times 9.8}\)

\(h = \frac{0.144}{0.98}\)

\(h = 0.1469 \text{ m}\)

ফলাফল:

নলের মধ্যে পানির উচ্চতা প্রায় \(0.147 \text{ m}\) বা \(0.15 \text{ m}\) (প্রায়)। 🎉

দেওয়া আছে:

গোলকের ব্যাসার্ধ, \( r = 200 \text{ mm} = 0.2 \text{ m} \)
প্রান্তবেগ, \( v = 2.1 \times 10^{-2} \text{ m/s} \)
তরলের সান্দ্রতাঙ্ক, \( \eta = 3 \times 10^{-3} \text{ N·s/m}^2 \)

সান্দ্র বল নির্ণয়:

স্টোকসের সূত্রানুসারে, সান্দ্র বল \( F = 6 \pi \eta r v \)
এখানে, \( \pi \approx 3.1416 \)

অতএব, \( F = 6 \times 3.1416 \times 3 \times 10^{-3} \times 0.2 \times 2.1 \times 10^{-2} \text{ N} \)

\( F = 6 \times 3.1416 \times 3 \times 0.2 \times 2.1 \times 10^{-5} \text{ N} \)

\( F = 23.75 \times 10^{-5} \text{ N} \)

\( F = 2.375 \times 10^{-4} \text{ N} \)

ফলাফল:

সান্দ্র বল \( 2.37 \times 10^{-4} \text{ N} \) (প্রায়)। 🎉

ভূ-পৃষ্ঠ থেকে 200 km উপরে অভিকর্ষজ ত্বরণ নির্ণয়

আমরা জানি, \(h\) উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g’\) নির্ণয়ের সূত্র:

যেখানে,

• \(g\) = ভূপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ = 9.8 m/s²
• \(R\) = পৃথিবীর ব্যাসার্ধ = 6400 km = 6400000 m
• \(h\) = উচ্চতা = 200 km = 200000 m

সুতরাং,

গণনা করে পাই,

অতএব, ভূপৃষ্ঠ থেকে 200 km উপরে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান প্রায় 9.21 m/s²। 🤔

নোট: প্রদত্ত উত্তর 9.19 m/s² এর কাছাকাছি, তবে আমাদের হিসাবে 9.21 m/s² এসেছে। সামান্য পার্থক্য হতে পারে। calculation আরেকবার check korle valo hoy.✅

ধাতব গোলকের কৌণিক ভরবেগ নির্ণয়

প্রদত্ত তথ্য:

• ভর, \( m = 6 \text{ gm} = 0.006 \text{ kg} \)
• দৈর্ঘ্য, \( r = 3 \text{ m} \)
• কম্পাঙ্ক, \( f = 4 \text{ Hz} \)

কৌণিক বেগ নির্ণয়:

কৌণিক বেগ, \( \omega = 2\pi f = 2 \times 3.1416 \times 4 = 25.1328 \text{ rad/s} \approx 8\pi \text{ rad/s}\)

জড়তার ভ্রামক নির্ণয়:

যেহেতু গোলকটিকে একটি সুতার প্রান্তে বাঁধা হয়েছে, তাই এটিকে একটি বিন্দু ভরের ন্যায় বিবেচনা করা যায়। সুতরাং, জড়তার ভ্রামক, \( I = mr^2 = 0.006 \times (3)^2 = 0.006 \times 9 = 0.054 \text{ kg} \cdot \text{m}^2 \) 😊

কৌণিক ভরবেগ নির্ণয়:

কৌণিক ভরবেগ, \( L = I\omega = 0.054 \times 25.1328 = 1.3571712 \text{ kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1} \)

অথবা, \( L = I\omega = 0.054 \times 8\pi = 0.054 \times 8 \times 3.1416 = 1.3571712 \text{ kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1} \) 🤗

সঠিক উত্তর:

কিন্তু এখানে উত্তর দেওয়া আছে 0.36 🤔। সম্ভবত কম্পাঙ্ককে কৌণিক বেগ \( \omega \) ধরা হয়েছে। সেক্ষেত্রে:

\( L = I\omega = 0.006 \times 3^2 \times 4 = 0.006 \times 9 \times 4 = 0.216 \text{ kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1} \) 🧐

যদি \(I = mr^2\) না ধরে শুধু \(I = mr\) ধরি তবে :

\(L = mr \omega = 0.006 \times 3 \times 2\pi \times 4 = 0.018 \times 8\pi = 0.018 \times 8 \times 3.1416 = 0.4523 \text{ kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1} \) 😥

আবার, যদি কৌণিক বেগ \( \omega = 4 \) rad/s হয় :

\(L = mr^2 \omega = 0.006 \times 3^2 \times 4 = 0.006 \times 9 \times 4 = 0.216 \text{ kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1} \)

কোনো কারণে যদি \(r = 6\) হয়, তবে:

\(L = mr^2 \omega = 0.006 \times 6^2 \times 4 = 0.006 \times 36 \times 4 = 0.864 \text{ kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1} \)

যদি \( m = 0.002\) kg হয়, তবে:

\(L = mr^2 \omega = 0.002 \times 3^2 \times 2\pi \times 4 = 0.002 \times 9 \times 8\pi = 0.4523 \text{ kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1} \)

🤔 আমার মনে হচ্ছে প্রশ্ন অথবা উত্তরে কোথাও ভুল আছে। যদি প্রশ্নপত্রে \(m=0.002\) kg এবং কৌণিক বেগ \( \omega = 2\pi \times 4 \) rad/s হয়, তবে \( L \approx 0.452\) । আবার, কম্পাঙ্ক কেই কৌণিক বেগ ধরা হলে এবং \(r=3\)m, \(m=0.006\)kg হলে, \( L = 0.216\) হয়।

যদি \( m = 0.01 \) kg এবং \( \omega = 12 \) rad/s হয়, তবে:

\(L = mr^2 \omega = 0.01 \times 3^2 \times 4 = 0.36 \text{ kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1} \)

সুতরাং, \( m = 0.004\) kg এবং কৌণিক বেগ \( \omega = 30 \) rad/s হলে উত্তর \(0.36\) এর কাছাকাছি হবে।

❓প্রশ্ন:

💡সমাধান:

✅উত্তর:

একটি সাবানের বুদবুদের ক্ষেত্রে, অতিরিক্ত চাপ (\(\Delta P\)) নির্ণয়ের সূত্র:

\(\Delta P = \frac{4T}{R}\)

যেখানে,

\(T\) = পৃষ্ঠটান (Surface tension) = \(3.2 \times 10^{-2}\) N/m

\(R\) = ব্যাসার্ধ (Radius) = 1 cm = \(1 \times 10^{-2}\) m

অতএব,

\(\Delta P = \frac{4 \times 3.2 \times 10^{-2}}{1 \times 10^{-2}}\)

\(\Delta P = 4 \times 3.2\)

\(\Delta P = 12.8\) N/m²

সুতরাং, বুদবুদের বাইরের এবং ভিতরের তলের মধ্যে অতিরিক্ত চাপের পরিমাণ 12.8 N/m²। 🎉

সরল দোলন গতি সম্পন্ন কণার গতির সমীকরণ:

এখানে, \(x\) হল সরণ এবং \(t\) হল সময়।

বেগের সমীকরণ নির্ণয় করতে, আমরা সময়ের সাপেক্ষে \(x\) কে অন্তরীকরণ করি:

চেইন রুল ব্যবহার করে, আমরা পাই:

সর্বাধিক বেগ \(v_{max}\) পেতে, \(\cos(31t – \frac{\pi}{6})\) এর মান 1 হতে হবে, কারণ \(\cos\) ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 1।

সুতরাং, সর্বাধিক বেগ 620 m/s। 🥳

🤔🤔 দুটি ভেক্টর \(\vec{A}\) এবং \(\vec{B}\) সমান্তরাল হওয়ার শর্ত হলো, একটি ভেক্টরকে অন্যটির স্কেলার গুণিতক আকারে লেখা যায়। অর্থাৎ, \(\vec{A} = k\vec{B}\) অথবা \(\vec{B} = k\vec{A}\) হতে হবে, যেখানে k একটি স্কেলার।

দেওয়া আছে, \(\vec{A} = \hat{i} – 3\hat{j} + 5\hat{k}\) এবং \(\vec{B} = m\hat{i} + 6\hat{j} – 10\hat{k}\)।

যদি \(\vec{A}\) এবং \(\vec{B}\) সমান্তরাল হয়, তবে আমরা লিখতে পারি:

\( \vec{B} = k\vec{A} \)

\( m\hat{i} + 6\hat{j} – 10\hat{k} = k(\hat{i} – 3\hat{j} + 5\hat{k}) \)

\( m\hat{i} + 6\hat{j} – 10\hat{k} = k\hat{i} – 3k\hat{j} + 5k\hat{k} \)

এখন, \(\hat{i}\), \(\hat{j}\) এবং \(\hat{k}\) এর সহগগুলো তুলনা করে পাই:

\( m = k \) …(1)

\( 6 = -3k \) …(2)

\( -10 = 5k \) …(3)

(2) নং সমীকরণ থেকে, \( k = \frac{6}{-3} = -2 \)

(3) নং সমীকরণ থেকে, \( k = \frac{-10}{5} = -2 \)

সুতরাং, \( k = -2 \)।

এখন, (1) নং সমীকরণে \( k \) এর মান বসিয়ে পাই:

\( m = -2 \)

অতএব, m এর মান -2 হলে \(\vec{A}\) এবং \(\vec{B}\) ভেক্টরদ্বয় সমান্তরাল হবে। 🎉🎉

শব্দের তীব্রতা কমানোর হিসাব 🔊

ধরি, প্রাথমিক তীব্রতা লেভেল \(L_1\) এবং পরবর্তী তীব্রতা লেভেল \(L_2\)।

প্রশ্নানুসারে, \(L_1 – L_2 = 1 \text{ dB}\)

আমরা জানি, শব্দের তীব্রতা লেভেল \(L = 10 \log_{10} \left(\frac{I}{I_0}\right)\), যেখানে \(I\) হলো শব্দের তীব্রতা এবং \(I_0\) হলো প্র standard তীব্রতা (\(10^{-12} \text{ W/m}^2\)).

সুতরাং, \(L_1 = 10 \log_{10} \left(\frac{I_1}{I_0}\right)\) এবং \(L_2 = 10 \log_{10} \left(\frac{I_2}{I_0}\right)\)

অতএব, \(L_1 – L_2 = 10 \log_{10} \left(\frac{I_1}{I_0}\right) – 10 \log_{10} \left(\frac{I_2}{I_0}\right)\)

\(\Rightarrow 1 = 10 \log_{10} \left(\frac{I_1}{I_2}\right)\)

\(\Rightarrow \log_{10} \left(\frac{I_1}{I_2}\right) = 0.1\)

\(\Rightarrow \frac{I_1}{I_2} = 10^{0.1} \approx 1.2589\)

সুতরাং, \(I_2 = \frac{I_1}{1.2589} \approx 0.7943 I_1\)

তীব্রতা শতকরা কমাতে হবে = \(\frac{I_1 – I_2}{I_1} \times 100\)

\(= \frac{I_1 – 0.7943 I_1}{I_1} \times 100\)

\(= (1 – 0.7943) \times 100\)

\(= 0.2057 \times 100\)

\(\approx 20.57\%\)

সুতরাং, শব্দের তীব্রতা প্রায় 20.57% কমাতে হবে। 🤔 যেহেতু অপশনে 21 আছে, তাই উত্তর 21 হবে। ✅

গতির সমস্যা: দূরত্ব নির্ণয় 🚀

একটি কণা স্থির অবস্থা থেকে যাত্রা শুরু করে এবং এর ত্বরণ \( a \) সময়ের সাথে \( a = 0.3t \) হারে পরিবর্তিত হয়। 10 সেকেন্ডে কণাটি কত দূরত্ব অতিক্রম করবে, তা নির্ণয় করতে হবে। 🤔

সমাধান:

আমরা জানি, ত্বরণ \( a = \frac{dv}{dt} \), যেখানে \( v \) হলো বেগ।

তাহলে, \( \frac{dv}{dt} = 0.3t \)

উভয় দিকে \( t \) এর সাপেক্ষে সমাকলন করে পাই,

\( \int dv = \int 0.3t \, dt \)

\( v = 0.3 \cdot \frac{t^2}{2} + C \)

যেহেতু কণাটি স্থির অবস্থা থেকে যাত্রা শুরু করে, \( t = 0 \) হলে \( v = 0 \) হবে। সুতরাং, \( C = 0 \)।

অতএব, \( v = 0.15t^2 \)

আবার, আমরা জানি, \( v = \frac{ds}{dt} \), যেখানে \( s \) হলো দূরত্ব।

তাহলে, \( \frac{ds}{dt} = 0.15t^2 \)

উভয় দিকে \( t \) এর সাপেক্ষে সমাকলন করে পাই,

\( \int ds = \int 0.15t^2 \, dt \)

\( s = 0.15 \cdot \frac{t^3}{3} + D \)

\( s = 0.05t^3 + D \)

যেহেতু \( t = 0 \) হলে \( s = 0 \) হবে, তাই \( D = 0 \)।

সুতরাং, \( s = 0.05t^3 \)

এখন, \( t = 10 \) সেকেন্ডের জন্য,

\( s = 0.05 \cdot (10)^3 = 0.05 \cdot 1000 = 50 \) মিটার। 🥳

সুতরাং, 10 সেকেন্ডে কণাটি 50 মিটার দূরত্ব অতিক্রম করবে। ✅

একটি নিরেট সিলিন্ডারের চক্রগতির ব্যাসার্ধ নির্ণয়:

আমরা জানি, নিরেট সিলিন্ডারের ক্ষেত্রে চক্রগতির ব্যাসার্ধ \( k \) এর সূত্র:

\( k = \sqrt{\frac{I}{m}} \)

এখানে,

\( I \) = জড়তার ভ্রামক

\( m \) = ভর

নিজে অক্ষের সাপেক্ষে ঘূর্ণায়মান নিরেট সিলিন্ডারের জড়তার ভ্রামক \( I = \frac{1}{2}mr^2 \)

সুতরাং,

\( k = \sqrt{\frac{\frac{1}{2}mr^2}{m}} \)

\( k = \sqrt{\frac{r^2}{2}} \)

\( k = \frac{r}{\sqrt{2}} \)

দেওয়া আছে, \( r = 20 \) cm

অতএব,

\( k = \frac{20}{\sqrt{2}} \) cm

\( k = \frac{20}{1.414} \) cm 😃

\( k \approx 14.14 \) cm

সুতরাং, নির্ণেয় চক্রগতির ব্যাসার্ধ 14.1 cm (প্রায়)। 🎉

চাঁদে সরল দোলকের দোলনকাল নির্ণয় 🌕

পৃথিবীতে একটি সরল দোলকের দোলনকাল \( T_e = 4.0 \) s.

পৃথিবীর ভর, \( M_e = 81 M_m \) (যেখানে \( M_m \) হল চাঁদের ভর)

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, \( R_e = 4 R_m \) (যেখানে \( R_m \) হল চাঁদের ব্যাসার্ধ)

আমরা জানি, সরল দোলকের দোলনকাল \( T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \), যেখানে \( l \) হল দোলকের দৈর্ঘ্য এবং \( g \) হল অভিকর্ষজ ত্বরণ।

অভিকর্ষজ ত্বরণ \( g = \frac{GM}{R^2} \), যেখানে \( G \) হল মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, \( M \) হল ভর এবং \( R \) হল ব্যাসার্ধ।

সুতরাং, পৃথিবীর অভিকর্ষজ ত্বরণ \( g_e = \frac{GM_e}{R_e^2} \) এবং চাঁদের অভিকর্ষজ ত্বরণ \( g_m = \frac{GM_m}{R_m^2} \).

অতএব, \( \frac{g_e}{g_m} = \frac{M_e}{M_m} \times \frac{R_m^2}{R_e^2} = \frac{81 M_m}{M_m} \times \frac{R_m^2}{(4 R_m)^2} = 81 \times \frac{1}{16} = \frac{81}{16} \).

আমরা জানি, \( T \propto \frac{1}{\sqrt{g}} \). সুতরাং, \( \frac{T_m}{T_e} = \sqrt{\frac{g_e}{g_m}} = \sqrt{\frac{81}{16}} = \frac{9}{4} \).

অতএব, চাঁদে দোলনকাল \( T_m = T_e \times \frac{9}{4} = 4.0 \times \frac{9}{4} = 9 \) s.

সুতরাং, চন্দ্রপৃষ্ঠে সরল দোলকের দোলনকাল 9 সেকেন্ড। 🎉

কৃত্রিম উপগ্রহের বেগ নির্ণয়

আমরা জানি, \(h\) উচ্চতায় ঘূর্ণায়মান কৃত্রিম উপগ্রহের বেগ, \[v = \sqrt{\frac{gR^2}{R+h}}\] এখানে,

• পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, \(R = 6400 \text{ km} = 6400 \times 10^3 \text{ m}\) 🌍
• উপগ্রহের উচ্চতা, \(h = 700 \text{ km} = 700 \times 10^3 \text{ m}\) 🚀
• পৃথিবী পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, \(g = 9.8 \text{ ms}^{-2}\) ⚖️

মিটারগেজ ট্রেনের বাঁক ঘোরার ক্ষেত্রে রেললাইনের উচ্চতার পার্থক্য নির্ণয়

এখানে, একটি মিটারগেজ ট্রেন 200m ব্যাসার্ধের বাঁক ঘুরছে। ট্রেনের গতি 50.4 km/h। দুটি রেললাইনের মধ্যে উচ্চতার পার্থক্য নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমে, ট্রেনের গতিকে মিটার/সেকেন্ডে প্রকাশ করা যাক: \[ v = 50.4 \frac{km}{h} = 50.4 \times \frac{1000 m}{3600 s} = 14 m/s \]

মিটারগেজ রেললাইনের ক্ষেত্রে, দুটি লাইনের মধ্যে দূরত্ব (গেজ) সাধারণত 1 মিটার হয়। ধরি, দুটি রেললাইনের উচ্চতার পার্থক্য \( h \)। বাঁক ঘোরার সময়, কেন্দ্রমুখী বলের প্রভাবে ট্রেনের ভারসাম্য রক্ষার জন্য একটি নির্দিষ্ট উচ্চতার পার্থক্য তৈরি করা হয়।

উচ্চতার পার্থক্য নির্ণয়ের সূত্রটি হলো: \[ \tan \theta = \frac{v^2}{gR} \] যেখানে,

• \( v \) = ট্রেনের গতি (m/s)
• \( g \) = অভিকর্ষজ ত্বরণ (9.8 m/s²)
• \( R \) = বাঁকের ব্যাসার্ধ (m)
• \( \theta \) = উল্লম্ব কোণ

এখানে, \( v = 14 m/s \), \( g = 9.8 m/s^2 \), এবং \( R = 200 m \) । সুতরাং, \[ \tan \theta = \frac{(14)^2}{9.8 \times 200} = \frac{196}{1960} = 0.1 \]

যেহেতু \( \theta \) খুব ছোট, তাই \( \tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta \)। এখন, উচ্চতার পার্থক্য \( h \) এবং গেজ \( G \) এর মধ্যে সম্পর্ক হলো: \[ \sin \theta = \frac{h}{G} \] এখানে, \( G = 1 m \)। সুতরাং, \[ h = G \sin \theta \approx G \tan \theta = 1 \times 0.1 = 0.1 m \]

অতএব, দুটি রেললাইনের মধ্যে উচ্চতার পার্থক্য 0.1 মিটার। 😃

🤔 চলো, 30°C তাপমাত্রার 4.0g নাইট্রোজেন গ্যাসের মোট গতিশক্তি কত, সেটা বের করি।

🧑‍🏫 প্রথমে, আমাদের জানতে হবে নাইট্রোজেন গ্যাসের মোল সংখ্যা কত:

\( \text{মোল সংখ্যা (n)} = \frac{\text{ভর (m)}}{\text{গ্রাম আণবিক ভর (M)}} \)

এখানে, \( m = 4.0 \text{ g} \) এবং \( M = 28 \text{ g/mol} \)

সুতরাং, \( n = \frac{4.0}{28} = 0.142857 \text{ mol} \) 🤓

🌡️ তাপমাত্রা \( T = 30^\circ \text{C} = 30 + 273.15 = 303.15 \text{ K} \)

💨 গ্যাসের মোট গতিশক্তি \( E_k \) নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

\( E_k = \frac{3}{2} nRT \)

যেখানে, \( R = 8.314 \text{ J/(mol K)} \) (gas constant)

⚙️ এখন, মানগুলো বসিয়ে পাই:

\( E_k = \frac{3}{2} \times 0.142857 \text{ mol} \times 8.314 \text{ J/(mol K)} \times 303.15 \text{ K} \)

\( E_k = 539.9 \approx 540 \text{ J} \) 🎉

সুতরাং, 30°C তাপমাত্রার 4.0g নাইট্রোজেন গ্যাসের মোট গতিশক্তি প্রায় 540 জুল।

কৈশিক নলে পানির উচ্চতা নির্ণয় 💧

প্রদত্ত:

• নলের ব্যাস, d = 0.22 মি
• নলের ব্যাসার্ধ, r = d/2 = 0.22/2 = 0.11 মি
• পৃষ্ঠটান, T = 7.2 × 10^-2 নিউটন/মি
• ঘনত্ব, ρ = 10³ কেজি/মি³
• অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 মি/সে² (ধরে নেওয়া হলো)

সূত্র:

কৈশিক নলে পানির উচ্চতা, h = \(\frac{2T}{rρg}\) ⬆️

গণনা:

h = \(\frac{2 \times 7.2 \times 10^{-2}}{0.11 \times 10^3 \times 9.8}\) = \(\frac{0.144}{1078}\) = 0.00013358 মি 🤔

তবে, এখানে সম্ভবত ব্যাসের মান \(0.22\) মিটারের বদলে \(0.22\) মিলিমিটার হবে। যদি তাই হয়:

নলের ব্যাসার্ধ, r = d/2 = 0.22/2 = 0.11 মিমি = 0.11 × 10^-3 মি 📏

তাহলে, h = \(\frac{2 \times 7.2 \times 10^{-2}}{0.11 \times 10^{-3} \times 10^3 \times 9.8}\) = \(\frac{0.144}{1.078}\) = 0.13358 মি ≈ 0.1336 মি ✅

ফলাফল:

অতএব, কৈশিক নলে পানি 0.1336 মিটার উচ্চতায় উপরে উঠবে। 🥳

গড় ত্বরণ নির্ণয়

গড় ত্বরণ \( \vec{a} \) নির্ণয়ের জন্য আমরা নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করতে পারি:

যেখানে,

• \( \vec{v}_f \) = শেষ বেগ = \( (12\hat{i} – 4\hat{j}) \) m/s
• \( \vec{v}_i \) = আদি বেগ = \( (4\hat{i} + 2\hat{j}) \) m/s
• \( t_f \) = শেষ সময় = 8.0 s
• \( t_i \) = আদি সময় = 0 s (ধরে নিচ্ছি)

তাহলে, বেগের পরিবর্তন \( \Delta \vec{v} \) হলো:

অতএব, গড় ত্বরণ \( \vec{a} \) হলো:

গড় ত্বরণের মান:

সুতরাং, গড় ত্বরণের মান 1.25 m/s²। 🚀

ধরি,

১ম সুরশলাকার কম্পাঙ্ক \(f_1\) এবং তরঙ্গদৈর্ঘ্য \(\lambda_1\)

২য় সুরশলাকার কম্পাঙ্ক \(f_2\) এবং তরঙ্গদৈর্ঘ্য \(\lambda_2\)

প্রশ্নানুসারে, \(f_2 – f_1 = 200\)Hz — (1) 😥

আবার, \(\lambda_1 = 3\lambda_2\) — (2) 😎

আমরা জানি, \(v = f\lambda\), যেখানে \(v\) হল শব্দের বেগ। 🤩

যেহেতু একই মাধ্যমে (বাতাসে) তরঙ্গ উৎপন্ন হয়েছে, তাই উভয় তরঙ্গের বেগ \(v\) একই থাকবে। 🥳

অতএব, \(f_1\lambda_1 = f_2\lambda_2\) 🤓

(2) নং সমীকরণ থেকে \(\lambda_1\) এর মান বসালে পাই,

\(f_1(3\lambda_2) = f_2\lambda_2\) 🥰

\(\implies 3f_1 = f_2\) — (3) 🤔

(1) নং সমীকরণ থেকে \(f_2\) এর মান (3) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

\(3f_1 – f_1 = 200\) 🤫

\(\implies 2f_1 = 200\)

\(\implies f_1 = 100\)Hz 🤩

এখন, \(f_1\) এর মান (3) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

\(f_2 = 3 \times 100 = 300\)Hz 😉

সুতরাং, সুরশলাকা দুটির কম্পাঙ্ক 100 Hz এবং 300 Hz। 😁

গ্লিসারিনের সান্দ্রতা গুণাঙ্ক নির্ণয়

দেওয়া আছে:

সান্দ্রতা গুণাঙ্ক, \( \eta \) নির্ণয় করতে হবে।

আমরা জানি, সান্দ্রতা বল \( F = \eta A \frac{dv}{dx} \)

মান বসিয়ে পাই,

অতএব, গ্লিসারিনের সান্দ্রতা গুণাঙ্কের মান 2.08 \( Nsm^{-1} \)। 🎉

বৃত্তাকার পথে ঘূর্ণায়মান কণার উপর প্রযুক্ত বল

একটি 0.02 kg ভরের কণা 0.50 m ব্যাসার্ধের বৃত্তাকার পথে 3π rad/s কৌণিক বেগে ঘুরছে। এই পরিস্থিতিতে, কণাটির উপর কেন্দ্রমুখী বল (centripetal force) কাজ করবে। 🤔

কেন্দ্রমুখী বলের গণনা

কেন্দ্রমুখী বল নির্ণয়ের জন্য আমরা নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করতে পারি:

F = mv²/r = mrω²

যেখানে:

• F = কেন্দ্রমুখী বল (N)
• m = ভর (kg) = 0.02 kg
• r = ব্যাসার্ধ (m) = 0.50 m
• ω = কৌণিক বেগ (rad/s) = 3π rad/s

এখন, মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:

F = 0.02 kg * 0.50 m * (3π rad/s)²

F = 0.02 kg * 0.50 m * 9π² rad²/s²

F = 0.09π² N 🥳

ফলের ব্যাখ্যা

সুতরাং, কণাটির উপর কেন্দ্রের দিকে 0.09π² N বল প্রয়ােজন। এই বল কণাটিকে বৃত্তাকার পথে ধরে রাখতে সাহায্য করে। 💪

বিভিন্ন রাশির তালিকা

যদি কৌণিক বেগ বৃদ্ধি করা হয়, তাহলে কেন্দ্রমুখী বলের মানও বৃদ্ধি পাবে। 🚀

আশা করি, এই ব্যাখ্যাটি তোমাদের বুঝতে সাহায্য করবে। 😊

অতিরিক্ত তথ্য

• বৃত্তাকার গতি একটি বিশেষ ধরনের গতি।
• কেন্দ্রমুখী বল সর্বদা কেন্দ্রের দিকে ক্রিয়া করে।
• এই বল না থাকলে বস্তু বৃত্তাকার পথে ঘুরতে পারত না।
• কৌণিক বেগ বাড়লে কেন্দ্রমুখী বল বাড়ে।

আরও কিছু জানতে চাও? 🤔

☀️ দেওয়া আছে:

• গাড়ির ভর, \(m = 500\) kg
• গাড়ির বেগ, \(v = 60\) km/hr = \(60 \times \frac{1000}{3600}\) m/s = \(\frac{50}{3}\) m/s
• দূরত্ব, \(s = 50\) m
• ঘর্ষণজনিত বল, \(F_r = 100\) N

🎯 বের করতে হবে:

• ব্রেকজনিত বল, \(F_b = ?\)

📝 সমাধান:

✅ উত্তর:

অগ্রগামী তরঙ্গের কম্পাঙ্ক নির্ণয় 🌊

একটি অগ্রগামী তরঙ্গ একটি নির্দিষ্ট বিন্দুকে অতিক্রম করার সময়, দুটি তরঙ্গশীর্ষের মধ্যে সময়ের পার্থক্য থেকে তরঙ্গের কম্পাঙ্ক নির্ণয় করা যায়। চলো, বিষয়টি বিস্তারিত আলোচনা করা যাক:

বিষয়টি যেভাবে কাজ করে ⚙️

1. তরঙ্গশীর্ষ (Wave Crest): তরঙ্গের শীর্ষ বিন্দুকে তরঙ্গশীর্ষ বলা হয়।
2. পর্যায়কাল (Time Period, T): পরপর দুটি তরঙ্গশীর্ষ একটি নির্দিষ্ট বিন্দুকে অতিক্রম করতে যে সময় নেয়, সেটি হল পর্যায়কাল।
3. কম্পাঙ্ক (Frequency, f): কম্পাঙ্ক হলো প্রতি সেকেন্ডে কতগুলো তরঙ্গশীর্ষ একটি বিন্দুকে অতিক্রম করে। এটি পর্যায়কালের বিপরীত, অর্থাৎ f = 1/T।

আমাদের প্রদত্ত তথ্য 📊

• দুটি তরঙ্গশীর্ষ একটি বিন্দুকে অতিক্রম করতে সময় লাগে: 0.2 সেকেন্ড।

গণনা 🧮

যেহেতু দুটি তরঙ্গশীর্ষ অতিক্রম করতে 0.2 সেকেন্ড সময় লাগে, তাই পর্যায়কাল (T) হলো 0.2 সেকেন্ড।

অতএব, কম্পাঙ্ক (f) হবে:

f = 1 / T = 1 / 0.2 = 5 হার্জ (Hz)

ফলাফল 🎉

সুতরাং, তরঙ্গের কম্পাঙ্ক 5.0 Hz।

সারণী আকারে উপস্থাপন 📝

গুরুত্বপূর্ণ বিষয় 💡

• কম্পাঙ্ক তরঙ্গের একটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য।
• কম্পাঙ্ক যত বেশি, তরঙ্গ তত দ্রুত স্পন্দিত হয়।
• শব্দ তরঙ্গের ক্ষেত্রে, কম্পাঙ্ক নির্ধারণ করে শব্দের তীক্ষ্ণতা (pitch)।🎶
• আলোর ক্ষেত্রে, কম্পাঙ্ক আলোর রঙ নির্ধারণ করে।🌈

সারসংক্ষেপ ✅

উপরের আলোচনা থেকে এটি স্পষ্ট যে, যদি দুটি তরঙ্গশীর্ষ একটি বিন্দুকে 0.2 সেকেন্ডে অতিক্রম করে, তবে তরঙ্গের কম্পাঙ্ক হবে 5.0 Hz। 🎯

আশা করি, তোমরা বিষয়টি বুঝতে পেরেছ! 😊 শুভকামনা! 💖

মার্বেল পড়ার দূরত্ব নির্ণয় 🧮

একটি মার্বেলকে 0.6 m উঁচু টেবিলের প্রান্ত থেকে টোকা দিলে মার্বেলটি 5.0 m/s বেগ অর্জন করে। মার্বেলটি টেবিলের প্রান্ত হতে কত মিটার দূরে মাটিতে পড়বে, তা নির্ণয় করা হলো:

প্রথমে, মার্বেলটি কত সময় ধরে বাতাসে ছিল, তা বের করতে হবে। উল্লম্ব দিকে মার্বেলের প্রাথমিক বেগ \( v_{0y} = 0 \) m/s (যেহেতু শুধু অনুভূমিক বেগ ছিল)। উল্লম্ব দূরত্ব \( h = 0.6 \) m। অভিকর্ষজ ত্বরণ \( g = 9.8 \) m/s²।

আমরা সূত্র ব্যবহার করতে পারি: \( h = v_{0y}t + \frac{1}{2}gt^2 \)। যেহেতু \( v_{0y} = 0 \), তাই সূত্রটি দাঁড়ায়:

\( h = \frac{1}{2}gt^2 \)

এখন, \( t \) এর মান বের করি:

\( t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.6}{9.8}} = \sqrt{\frac{1.2}{9.8}} \approx \sqrt{0.1224} \approx 0.35 \) s

দ্বিতীয়ত, অনুভূমিক দূরত্ব নির্ণয় করতে হবে। অনুভূমিক বেগ \( v_x = 5.0 \) m/s (যা ধ্রুবক থাকবে, কারণ অনুভূমিক দিকে কোনো ত্বরণ নেই)। সময় \( t = 0.35 \) s।

অনুভূমিক দূরত্ব \( d = v_x \times t = 5.0 \times 0.35 = 1.75 \) m

অতএব, মার্বেলটি টেবিলের প্রান্ত থেকে 1.75 m দূরে মাটিতে পড়বে। 🎉

সমাধান:

স্প্রিং-এর সংকোচন নির্ণয় 🧐

প্রদত্ত তথ্য:

স্প্রিং ধ্রুবক নির্ণয়:

শক্তির সংরক্ষণ নীতি ব্যবহার করে সংকোচন নির্ণয়:

ফলাফল:

সিলিন্ডারের গ্যাসের চাপ বৃদ্ধি নির্ণয়

ধরি, সিলিন্ডারের আবদ্ধ গ্যাসের প্রাথমিক তাপমাত্রা \(T_1\) এবং চাপ \(P_1\)। তাপমাত্রা বৃদ্ধি করার পর তাপমাত্রা \(T_2\) এবং চাপ \(P_2\) হয়।

আমাদের দেওয়া আছে:

• প্রাথমিক তাপমাত্রা, \(T_1 = 30^\circ \text{C} = 30 + 273.15 = 303.15 \text{ K}\) 🌡️
• চূড়ান্ত তাপমাত্রা, \(T_2 = 100^\circ \text{C} = 100 + 273.15 = 373.15 \text{ K}\) 🔥

আমরা জানি, স্থির আয়তনে গ্যাসের চাপ তার তাপমাত্রার সাথে সরাসরি সমানুপাতিক। অর্থাৎ, \(P \propto T\)। সুতরাং, \[ \frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2} \]

অতএব, \(P_2 = P_1 \times \frac{T_2}{T_1}\)

\(P_2 = P_1 \times \frac{373.15}{303.15} = 1.2309 P_1\) 📈

চাপের শতকরা বৃদ্ধি: \[ \frac{P_2 – P_1}{P_1} \times 100 = \frac{1.2309 P_1 – P_1}{P_1} \times 100 = (1.2309 – 1) \times 100 = 23.09\% \approx 23\% \]

সুতরাং, তাপমাত্রা \(30^\circ \text{C}\) থেকে \(100^\circ \text{C}\) করা হলে গ্যাসের চাপ প্রায় 23% বৃদ্ধি পাবে। ✅

আমরা জানি, শব্দের বেগ \(v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}\), যেখানে:

• \(v\) = শব্দের বেগ
• \(\gamma\) = আপেক্ষিক তাপের অনুপাত (ধ্রুবক)
• \(R\) = গ্যাস ধ্রুবক (ধ্রুবক)
• \(T\) = তাপমাত্রা (কেলভিন)
• \(M\) = আণবিক ভর (ধ্রুবক)

যেহেতু \(\gamma\), \(R\), এবং \(M\) ধ্রুবক, তাই আমরা লিখতে পারি \(v \propto \sqrt{T}\) অথবা \(v^2 \propto T\)।

সুতরাং, \(\frac{v_1^2}{T_1} = \frac{v_2^2}{T_2}\), যেখানে:

• \(v_1\) = সিলেটের শব্দের বেগ = 330 m/s
• \(T_1\) = সিলেটের তাপমাত্রা = 10°C = 10 + 273.15 = 283.15 K
• \(v_2\) = রাজশাহীর শব্দের বেগ = 333 m/s
• \(T_2\) = রাজশাহীর তাপমাত্রা (নির্ণেয়)

এখন, \(T_2 = T_1 \times \frac{v_2^2}{v_1^2}\)

\(\implies T_2 = 283.15 \times \frac{(333)^2}{(330)^2}\)

\(\implies T_2 = 283.15 \times \frac{110889}{108900}\)

\(\implies T_2 = 283.15 \times 1.01826 \approx 288.32\) K

রাজশাহীর তাপমাত্রা সেলসিয়াসে, \(T_2 = 288.32 – 273.15 = 15.17 \approx 15.2\) °C। 🥳

অতএব, রাজশাহীর তাপমাত্রা প্রায় 15.2°C।

ত্বরণ থেকে দূরত্ব নির্ণয়

দেওয়া আছে, কোনো বস্তুর ত্বরণ \( a = 2 + 6t \) \(ms^{-2}\)। বস্তুটি স্থির অবস্থা থেকে যাত্রা শুরু করে। \( t = 10 \) সেকেন্ড সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমে, আমরা \( t \) সময়ে বেগ \( v \) নির্ণয় করি: \[ v = \int a \, dt = \int (2 + 6t) \, dt = 2t + 3t^2 + C_1 \] যেহেতু বস্তুটি স্থির অবস্থা থেকে যাত্রা শুরু করে, \( t = 0 \) হলে \( v = 0 \)। সুতরাং, \( C_1 = 0 \)। অতএব, \( v = 2t + 3t^2 \) \(ms^{-1}\)।

এখন, আমরা \( t \) সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব \( s \) নির্ণয় করি: \[ s = \int v \, dt = \int (2t + 3t^2) \, dt = t^2 + t^3 + C_2 \] যেহেতু \( t = 0 \) হলে \( s = 0 \), তাই \( C_2 = 0 \)। অতএব, \( s = t^2 + t^3 \) \(m\)।

\( t = 10 \) সেকেন্ড সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব: \[ s = (10)^2 + (10)^3 = 100 + 1000 = 1100 \) \(m\)।

সুতরাং, বস্তুটি \( 10 \) সেকেন্ডে \( 1100 \) মিটার দূরত্ব অতিক্রম করবে। 🎉

তরঙ্গ দুটির বিশ্লেষণ 🌊

দুটি তরঙ্গ দেওয়া আছে:

• তরঙ্গ ১: y = 5sin(5x – 10t)
• তরঙ্গ ২: y = 6cos(7x – 14t)

আমাদেরকে যাচাই করতে হবে তরঙ্গ দুটির বেগ সমান কিনা। চলো, দেখা যাক! 🤔

তরঙ্গের বেগ নির্ণয় 🚄

তরঙ্গের সাধারণ সমীকরণ: y = A sin(kx – ωt) অথবা y = A cos(kx – ωt)

এখানে:

• A = বিস্তার (Amplitude)
• k = কৌণিক তরঙ্গ সংখ্যা (Angular wave number) = 2π/λ (λ = তরঙ্গদৈর্ঘ্য)
• ω = কৌণিক কম্পাঙ্ক (Angular frequency) = 2πf (f = কম্পাঙ্ক)

তরঙ্গ বেগ (v) = ω/k

তরঙ্গ ১ এর জন্য:

• k₁ = 5
• ω₁ = 10
• বেগ, v₁ = ω₁/k₁ = 10/5 = 2

তরঙ্গ ২ এর জন্য:

• k₂ = 7
• ω₂ = 14
• বেগ, v₂ = ω₂/k₂ = 14/7 = 2

ফলাফল 📊

নিচের টেবিলের মাধ্যমে বিষয়টি আরও পরিষ্কার করা যাক:

সিদ্ধান্ত 💡

যেহেতু v₁ = v₂, তাই তরঙ্গ দুটির বেগ সমান। 🎉

সুতরাং, উত্তর “বেগ সমান” সঠিক। ✅

আশা করি, ব্যাখ্যাটি বোধগম্য হয়েছে! 👍

আরও কিছু ইমোজি: 🌟✨💫

ব্যাখ্যা

ধরি, জাহাজের মোট আয়তন \( V \) এবং জাহাজের ওজন \( W \)।

যখন জাহাজটি সমুদ্রে ছিল, তখন নিমজ্জিত অংশের আয়তন \( 0.975V \)। সমুদ্রের জলের ঘনত্ব \( \rho_s \) হলে প্লবতা বল (Buoyant force) হবে:

\( F_B = 0.975V \rho_s g \)

যেখানে \( g \) হলো অভিকর্ষজ ত্বরণ। এই প্লবতা বল জাহাজের ওজনের সমান, তাই:

\( W = 0.975V \rho_s g \) ….(1)

যখন জাহাজটি নদীতে প্রবেশ করে, তখন সম্পূর্ণ ডুবে যায়। নদীর জলের ঘনত্ব \( \rho_r \) হলে প্লবতা বল হবে:

\( F_B’ = V \rho_r g \)

এখানেও প্লবতা বল জাহাজের ওজনের সমান, তাই:

\( W = V \rho_r g \) ….(2)

সমীকরণ (1) এবং (2) তুলনা করে পাই:

\( 0.975V \rho_s g = V \rho_r g \)

\( 0.975 \rho_s = \rho_r \)

আমরা জানি নদীর জলের ঘনত্ব \( \rho_r = 1 \, \text{gm/cc} \)। সুতরাং,

\( \rho_s = \frac{\rho_r}{0.975} = \frac{1}{0.975} \approx 1.0256 \, \text{gm/cc} \)

অতএব, সমুদ্রের জলের ঘনত্ব প্রায় \( 1.025 \, \text{gm/cc} \)।

অভিকর্ষ বল দ্বারা কৃত কাজ নির্ণয়

দেওয়া আছে:

• বস্তুর ভর, \( m = 10 \) kg
• সরণ, \( s = 5 \) m

কৃত কাজের পরিমাণ:

অভিকর্ষ বল একটি উল্লম্ব বল এবং বস্তুর সরণ অনুভূমিক দিকে হয়েছে। বল এবং সরণের মধ্যবর্তী কোণ \( 90^\circ \) । আমরা জানি,

এখানে,

• \( F \) = অভিকর্ষ বল = \( mg \)
• \( s \) = সরণ = 5 m
• \( \theta \) = বল এবং সরণের মধ্যবর্তী কোণ = \( 90^\circ \)

সুতরাং,

যেহেতু, \( \cos 90^\circ = 0 \)

উত্তর: অভিকর্ষ বল দ্বারা কৃত কাজের পরিমাণ 0 J। 🥳

কারণ: যেহেতু অভিকর্ষ বল উল্লম্বভাবে নিচের দিকে ক্রিয়া করে এবং বস্তুর সরণ অনুভূমিক দিকে, তাই অভিকর্ষ বলের দিকে কোনো সরণ হয়নি। তাই অভিকর্ষ বল কোনো কাজ করেনি। 😇

80kg ভরের বাক্সের ত্বরণ নির্ণয়

দেওয়া আছে:

নির্ণয় করতে হবে:

সমাধান:

স্ক্রু-গজের লঘিষ্ট গুণন নির্ণয়

স্ক্রু-গজের লঘিষ্ট গুণন (Least Count) নির্ণয়ের জন্য নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করা হয়:

লঘিষ্ট গুণন = পিচ / বৃত্তাকার স্কেলের ভাগ সংখ্যা

এখানে,

• পিচ = 0.5 মিমি (যেহেতু বৃত্তাকার স্কেল একবার ঘুরালে রৈখিক স্কেল বরাবর 0.5 মিমি দৈর্ঘ্য অতিক্রম করে)
• বৃত্তাকার স্কেলের ভাগ সংখ্যা = 50

সুতরাং,

লঘিষ্ট গুণন = 0.5 মিমি / 50 = 0.01 মিমি

অতএব, স্ক্রু-গজের লঘিষ্ট গুণন 0.01 মিমি। 🎉

গাণিতিকভাবে প্রকাশ করা হলো:

\[ \text{Least Count (LC)} = \frac{\text{Pitch}}{\text{Number of divisions on circular scale}} \]

\[ \text{LC} = \frac{0.5 \text{ mm}}{50} = 0.01 \text{ mm} \]

সুতরাং, উত্তর: 0.01 মিমি। 🎯

সেকেন্ড দোলকের দোলনকাল নির্ণয় (মঙ্গল গ্রহে)

ভূমিকা

একটি সেকেন্ড দোলকের দোলনকাল \( T = 2 \) সেকেন্ড। এই দোলনকাল পৃথিবীর পৃষ্ঠে পরিমাপ করা হয়। মঙ্গল গ্রহে দোলনকাল ভিন্ন হবে, কারণ সেখানকার অভিকর্ষজ ত্বরণ \( g \) পৃথিবীর চেয়ে আলাদা।

প্রয়োজনীয় সূত্র

দোলনকালের সূত্র:

\( T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \)

যেখানে:

• \( T \) = দোলনকাল
• \( l \) = দোলকের দৈর্ঘ্য
• \( g \) = অভিকর্ষজ ত্বরণ

মহাকর্ষীয় ত্বরণের সূত্র:

\( g = \frac{GM}{R^2} \)

যেখানে:

• \( G \) = মহাকর্ষীয় ধ্রুবক
• \( M \) = গ্রহের ভর
• \( R \) = গ্রহের ব্যাসার্ধ

গণনা 📝

1. পৃথিবীর জন্য:

পৃথিবীর ভর \( M_E \) এবং ব্যাসার্ধ \( R_E \) হলে, অভিকর্ষজ ত্বরণ \( g_E = \frac{GM_E}{R_E^2} \)

2. মঙ্গলের জন্য:

মঙ্গলের ভর \( M_M = \frac{1}{10} M_E \) এবং ব্যাসার্ধ \( R_M = \frac{1}{2} R_E \) হলে, অভিকর্ষজ ত্বরণ

\( g_M = \frac{G(\frac{1}{10} M_E)}{(\frac{1}{2} R_E)^2} = \frac{G M_E}{10} \cdot \frac{4}{R_E^2} = \frac{2}{5} \frac{GM_E}{R_E^2} = \frac{2}{5} g_E \)

সুতরাং, \( g_M = \frac{2}{5} g_E \)

3. দোলনকালের তুলনা:

পৃথিবীতে দোলনকাল \( T_E = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_E}} = 2 \) সেকেন্ড

মঙ্গলে দোলনকাল \( T_M = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_M}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{\frac{2}{5} g_E}} = 2\pi \sqrt{\frac{5l}{2g_E}} \)

\( T_M = \sqrt{\frac{5}{2}} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_E}} = \sqrt{\frac{5}{2}} \cdot T_E \)

\( T_M = \sqrt{\frac{5}{2}} \cdot 2 = 2 \cdot \sqrt{2.5} \approx 2 \cdot 1.581 = 3.162 \) সেকেন্ড

ফলাফল 🎉

অতএব, সেকেন্ড দোলককে মঙ্গল গ্রহে নিয়ে গেলে তার দোলনকাল হবে প্রায় \( 3.162 \) সেকেন্ড।

1m দীর্ঘ একটি স্প্রিং এর একটি বস্তু ঝুলিয়ে ছেড়ে দেওয়ার পরে এটি সেকেন্ডে একবার পূর্ণদোলন দেয়। দোলন ছেড়ে দেবার পরে স্প্রিংটি কত দৈর্ঘ্যে প্রসারিত হয়ে থাকবে? [g=10 m/s²]

1. 1.1m (Incorrect)
2. 1.2m (Incorrect)
3. 1.25m (Correct)
4. 1.5m (Incorrect)
5. 1.52m (Incorrect)

ব্যাখ্যা:

স্প্রিং-বস্তু ব্যবস্থার পূর্ণ দোলনকাল (T) এবং কৌণিক কম্পাঙ্ক (ω) জানা থাকলে আমরা স্প্রিং-এর প্রসারণ নির???ণয় করতে পারি।

প্রদত্ত তথ্য:

• স্প্রিং এর আদি দৈর্ঘ্য (L₀) = 1 m
• পূর্ণ দোলনকাল (T) = 1 সেকেন্ড
• অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 m/s²

কৌণিক কম্পাঙ্ক (ω) নির্ণয়:

পূর্ণ দোলনকাল এবং কৌণিক কম্পাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক হলো:

ω = 2π / T

ω = 2π / 1 = 2π রেডিয়ান/সেকেন্ড

কৌণিক কম্পাঙ্কের সূত্র:

স্প্রিং-বস্তু ব্যবস্থার কৌণিক কম্পাঙ্কের সূত্র হলো:

ω = √(g / ΔL)

যেখানে ΔL হলো স্প্রিং এর প্রসারণ।

প্রসারণ (ΔL) নির্ণয়:

আমরা ω এর মান জানি, তাই ΔL নির্ণয় করতে পারি:

(2π)² = g / ΔL

4π² = 10 / ΔL

ΔL = 10 / (4π²)

π² এর মান প্রায় 9.87। সুতরাং,

ΔL = 10 / (4 × 9.87)

ΔL = 10 / 39.48

ΔL ≈ 0.253 m

স্প্রিং এর প্রসারিত দৈর্ঘ্য (L) নির্ণয়:

স্প্রিং এর প্রসারিত দৈর্ঘ্য হবে আদি দৈর্ঘ্য এবং প্রসারণের যোগফল:

L = L₀ + ΔL

L = 1 m + 0.253 m

L = 1.253 m

সুতরাং, দোলন ছেড়ে দেবার পরে স্প্রিংটি প্রায় 1.25 m দৈর্ঘ্যে প্রসারিত হয়ে থাকবে।

বিকল্পগুলির বিশ্লেষণ:

• A. 1.1m: ভুল উত্তর।
• B. 1.2m: ভুল উত্তর।
• C. 1.25m: সঠিক উত্তর, আমাদের গণনার কাছাকাছি।
• D. 1.5m: ভুল উত্তর।
• E. 1.52m: ভুল উত্তর।

সঠিক উত্তর: C. 1.25m

স্প্রিং এর প্রসারণ নির্ণয়

একটি স্প্রিং-এর দৈর্ঘ্য \( l = 1m \)। স্প্রিং-এর সাথে একটি বস্তু ঝুলিয়ে ছেড়ে দিলে এর দোলনকাল \( T = 1s \)। অভিকর্ষজ ত্বরণ \( g = 10 ms^{-2} \)। স্প্রিংটি কতটুকু প্রসারিত হবে, তা নির্ণয় করতে হবে।

সমাধান

আমরা জানি, স্প্রিং-এর ক্ষেত্রে দোলনকালের সূত্র:
\( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \)
এখানে, \( m \) হলো বস্তুর ভর এবং \( k \) হলো স্প্রিং ধ্রুবক।

সুতরাং, \( T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k} \)
বা, \( k = \frac{4\pi^2 m}{T^2} \)

আবার, স্প্রিং-এর প্রসারণ \( x \) হলে, \( mg = kx \) হবে।
সুতরাং, \( x = \frac{mg}{k} \)

\( k \) এর মান বসিয়ে পাই,
\( x = \frac{mg}{\frac{4\pi^2 m}{T^2}} = \frac{gT^2}{4\pi^2} \)

মান বসিয়ে পাই,
\( x = \frac{10 \times (1)^2}{4 \times (3.1416)^2} \approx \frac{10}{4 \times 9.8696} \approx \frac{10}{39.4784} \approx 0.2533 m \)

সুতরাং, স্প্রিং-এর প্রসারিত দৈর্ঘ্য হবে:
\( L = l + x = 1 + 0.2533 = 1.2533 m \)

অতএব, স্প্রিংটি প্রায় 1.25 m দৈর্ঘ্যে প্রসারিত হবে। 🎉

সূর্যকে প্রদক্ষিণ করতে শনি গ্রহের সময় নির্ণয়

বুলেটবিদ্ধ গোলকের গতি নির্ণয় ⚽️🎯

প্রদত্ত তথ্য:

• গোলকের ভর \( m_1 = 1 \text{ kg} \)
• গোলকের বেগ \( v_1 = 1 \text{ m/s} \)
• বুলেটের ভর \( m_2 = 1 \text{ gm} = 0.001 \text{ kg} \)
• বুলেটের বেগ \( v_2 = -1000 \text{ m/s} \) (বিপরীত দিকে হওয়ায় ঋণাত্মক)

ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্রানুসারে 🧐:

মান বসিয়ে পাই 🤔:

অতএব 👇:

ফলাফল 🎉: