\(x_1 = a \sin(\omega t + \pi)\) \(x_2 = a \sin\left(\frac{\pi}{2} + \omega t + \frac{\pi}{3}\right)\) \(\therefore \text{দফা পার্থক্য} = \omega t + \pi - \frac{\pi}{2} - \omega t - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}\)

\(\tan\theta = \frac{v^2}{rg} \implies \theta = \tan^{-1}\left(\frac{\left(\frac{70}{3.6}\right)^2}{150 \times 9.8}\right) = 14.42^\circ\)

\(\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & 3 & 1 \\ -3 & 7 & 0 \end{vmatrix} = -7\hat{i} - 3\hat{j} + 44\hat{k}\) \(\therefore |\vec{\tau}| = 44.65\)

\(\text{Given: } m_1gh = \frac{1}{2}m_2v^2 \implies h = \frac{\frac{1}{2} \times 2000 \times (6.944)^2}{50 \times 9.8} = 98.4 \, \text{m}\)

\(\text{লম্বি বল} = 1.5 \times 9.8 - 7.5\) \(\text{এখন, } ma = 7.2 \implies a = \frac{7.2}{1.5} = 4.8 \, \text{ms}^{-2}\)

\(\text{Solve: } v = 5 \, \text{kmh}^{-1} = \frac{5000}{3600} \, \text{ms}^{-1} = 1.39 \, \text{ms}^{-1}\) \(t = \frac{d}{v \sin\theta} \implies \sin\theta = \frac{d}{vt} \implies \theta = \sin^{-1}\left(\frac{d}{vt}\right)\) \(\theta = \sin^{-1}\left(\frac{500}{1.39 \times 720}\right) \, \text{[সবকিছু S.I. এককে নেওয়া হয়েছে]}\) \(\theta = 30^\circ\) \(\text{Ans. (A)}\) \(\text{ব্যাখ্যা: }\) \(\text{AC পথে রওনা হলে, } t = \frac{d}{v \sin\alpha}\) \(\text{AD পথে রওনা হলে, } t = \frac{d}{v} \, \text{[}\sin90^\circ = 1\text{]}\) \(\text{AE পথে রওনা হলে, } t = \frac{d}{v \sin\theta}\)

\(\text{Solve: } T = \frac{hrpg}{2} \implies h = \frac{2T}{rpg} \implies h \propto \frac{1}{r}\) \(\text{Ans. (A)}\)

\(\text{Solve: } \mu_1 = \rho \pi r_1^2 h; \, \mu_2 = \rho \pi r_2^2 h\) \(\frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{\pi \rho r_2^2 h}{\pi \rho r_1^2 h} = \frac{r_2^2}{r_1^2}\) \(\text{যেহেতু } r_2 = 3r_1, \, \frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{(3r_1)^2}{r_1^2} = \frac{9r_1^2}{r_1^2}\) \(\mu_2 = 9\mu_1 \implies \frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{1}{9}\) \(\text{আবার, } v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}\) \(\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{\mu_1}{\mu_2}} \, \text{[যেহেতু } T \text{ স্থির]}\) \(\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{1}{9}} \implies v_2 = \frac{1}{3}v_1 \implies v_2 = \frac{1}{3} \times 1500 = 500 \, \text{ms}^{-1}\) \(\text{Ans. (B)}\)

\(\text{Solve: প্রবল নিউক্লীয় বলের পাল্লা } 10^{-15} \, \text{m।}\) \(\text{Ans. (A)}\) \(\text{ব্যাখ্যা: প্রবল নিউক্লীয় বল নিউক্লিয়াসের মধ্যে প্রোটন ও নিউট্রনকে আবদ্ধ করে রাখে।}\) \(\text{তাই বলা যায় প্রবল নিউক্লীয় বলের পাল্লা পরমাণুর নিউক্লিয়াস অর্থাৎ } 10^{-15} \, \text{m।}\) \(\text{চারটি মৌলিক বলের পাল্লা ও আপেক্ষিক শক্তির তুলনা:}\) \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{মৌলিক বল} & \text{মহাকর্ষ বল} & \text{তড়িৎ-চৌম্বক বল} & \text{প্রবল নিউক্লীয় বল} & \text{দুর্বল নিউক্লীয় বল} \\ \hline \text{পাল্লা} & \text{অসীম} & \text{অসীম} & 10^{-15} \, \text{m} & 10^{-16} \, \text{m} \\ \text{আপেক্ষিক সবলতা} & 1 & 10^{39} & 10^{41} & 10^{30} \\ \hline \end{array}\)

\(\text{Solve: } F = \frac{mv - mu}{t}\) \(\implies F = \frac{0.16 \times (-25) - 0.16 \times 15}{10 \times 10^{-3}}\) \(\implies F = \frac{-4 - 2.4}{0.01} = \frac{-6.4}{0.01} = 640 \, \text{N}\) \(\text{Ans. (B)}\)

\(\text{Solve: } T = m\omega^2r\) \(\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.2} = 10\pi\) \(T = m\omega^2r\) \(\phantom{T} = 0.02 \times (10\pi)^2 \times 5 = 98.7\) \(\text{Ans. (C)}\)

\(\text{Solve: } \vec{E} = (3\hat{i} + 4\hat{j}) \, \text{NC}^{-1}\) \(E = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \, \text{NC}^{-1}\) \(a = \frac{qE}{m}\) \(\phantom{a} = \frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 5}{4 \, \text{amu}}\) \(\phantom{a} = \frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 5}{4 \times 1.66 \times 10^{-27}}\) \(\phantom{a} = 2.4 \times 10^8 \, \text{ms}^{-2}\) \(\text{Ans. (D)}\)

\(\text{Solve: } Y = \frac{F}{\frac{A}{l}} \implies Y = \frac{FL}{Al} = \frac{mgL}{\pi r^2 l}\) \(\phantom{Y} = \frac{70 \times 9.8 \times 60}{3.14 \times (4.5 \times 10^{-3})^2 \times 1.5} = 4.31 \times 10^8 \, \text{Pa}\) \(\text{Ans. (C)}\)

প্রশ্নটি গতি ও ভরের সংরক্ষণ সূত্র (Conservation of Momentum) অনুযায়ী সমাধান করতে হবে। প্রদত্ত তথ্যঃ প্রথম বস্তু: \[ m_1 = 4kg, \quad \vec{v_1} = (2\hat{i} + 3\hat{j}) \text{ m/s} \] দ্বিতীয় বস্তু: \[ m_2 = 6kg, \quad \vec{v_2} = (-4\hat{i} - 6\hat{j}) \text{ m/s} \] মোট ভর: \[ M = m_1 + m_2 = 4 + 6 = 10kg \] মোট ভরবেগ নির্ণয়: \[ \vec{P} = m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2} \] প্রতিটি কম্পোনেন্ট আলাদাভাবে গণনা করি— \[ P_x = (4 \times 2) + (6 \times -4) = 8 - 24 = -16 \] \[ P_y = (4 \times 3) + (6 \times -6) = 12 - 36 = -24 \] তাহলে মোট ভরবেগ, \[ \vec{P} = (-16\hat{i} - 24\hat{j}) \text{ kg⋅m/s} \] চূড়ান্ত বেগ নির্ণয়: \[ \vec{V} = \frac{\vec{P}}{M} = \frac{(-16\hat{i} - 24\hat{j})}{10} \] \[ \vec{V} = (-1.6\hat{i} - 2.4\hat{j}) \text{ m/s} \] বেগের মান নির্ণয়: \[ V = \sqrt{(-1.6)^2 + (-2.4)^2} \] \[ V = \sqrt{2.56 + 5.76} = \sqrt{8.32} \] \[ V \approx 2.88 \text{ m/s} \] সঠিক উত্তর: \[ \mathbf{E. \ 2.88} \]

Solve: \( r = a \cos\theta \implies r^2 = a r \cos\theta \) \(\implies x^2 + y^2 - ax = 0 \implies x^2 + y^2 + 2\left(-\frac{a}{2}\right)x + 2\cdot 0\cdot y + 0 = 0\) \(\therefore\) কেন্দ্র, \(\left(\frac{a}{2}, 0\right) = \left(\frac{1}{2}, 0\right)\), \([দেওয়া আছে] \therefore a = 1\) \(\therefore\) বৃত্তের ব্যাসার্ধ \( = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + 0^2 - 0} = \frac{a}{2}\) \(\therefore\) বৃত্তের ক্ষেত্রফল \( = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi \cdot 1^2}{4} = \frac{\pi}{4}\) Ans. (A)

\(\text{Solve: } F = mg\frac{x}{L} \implies 0.24 = 0.3 \times 9.8 \times \frac{0.2}{L} \implies L = 2.45\) \(T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{2.45}{9.8}} = 3.14\) \(\text{Ans. (D)}\) \(\text{ব্যাখ্যা: } F = mg\sin\theta\) \(F = mg\theta \, [\theta \, \text{ক্ষুদ্র হলে } \sin\theta \approx \theta]\) \(F = mg\frac{x}{L}\) \(\text{মনে করো, আমরা } m \, \text{ভরের একটি গোলককে } L \, \text{দৈর্ঘ্যের একটি সূতার সাহায্যে ঝুলিয়ে দিলাম। গোলকটি যদি }\) \(\text{আমরা } \theta \, \text{কোনে টেনে ছেড়ে দেই, তখন তা পূর্বের অবস্থানে আসার জন্য গতি লাভ করবে।}\) \(\text{গোলকের ভারের উপাংশ } mg\sin\theta \, \text{থেকে আমরা পুনরায় লিখতে পারি } mg\frac{x}{L}\।\)

Solve: \( f(x) = |2x - 1|, x = \frac{1}{2} \) হলে, \( f\left(\frac{1}{2}\right) = \left|2 \cdot \frac{1}{2} - 1\right| = 0 \) অন্য যে কোনো বাস্তব মানের জন্য \( f(x) \) মান \( > 0 \) হবে। \(\therefore\) ফাংশনটির রেঞ্জ = \([0, \infty)\)

\(y = v_0 \sin \theta_0 t - \frac{1}{2} g t^2\) \(\implies 38 = 50 \sin 40^\circ t - 4.9t^2\) \(\implies 4.9t^2 - 32.12t + 38 = 0\) \(\text{দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করে পাই, } t_1 = 1.55, \, t_2 = 5.01\) \(\therefore t_2 - t_1 = 5.01 - 1.55 = 3.46\) \(\text{Ans. (C)}\)