\(\tan\theta = \frac{v^2}{rg} \implies \theta = \tan^{-1}\left(\frac{\left(\frac{70}{3.6}\right)^2}{150 \times 9.8}\right) = 14.42^\circ\)

\(\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & 3 & 1 \\ -3 & 7 & 0 \end{vmatrix} = -7\hat{i} - 3\hat{j} + 44\hat{k}\) \(\therefore |\vec{\tau}| = 44.65\)

\(\text{লম্বি বল} = 1.5 \times 9.8 - 7.5\) \(\text{এখন, } ma = 7.2 \implies a = \frac{7.2}{1.5} = 4.8 \, \text{ms}^{-2}\)

\(\text{Solve: প্রবল নিউক্লীয় বলের পাল্লা } 10^{-15} \, \text{m।}\) \(\text{Ans. (A)}\) \(\text{ব্যাখ্যা: প্রবল নিউক্লীয় বল নিউক্লিয়াসের মধ্যে প্রোটন ও নিউট্রনকে আবদ্ধ করে রাখে।}\) \(\text{তাই বলা যায় প্রবল নিউক্লীয় বলের পাল্লা পরমাণুর নিউক্লিয়াস অর্থাৎ } 10^{-15} \, \text{m।}\) \(\text{চারটি মৌলিক বলের পাল্লা ও আপেক্ষিক শক্তির তুলনা:}\) \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{মৌলিক বল} & \text{মহাকর্ষ বল} & \text{তড়িৎ-চৌম্বক বল} & \text{প্রবল নিউক্লীয় বল} & \text{দুর্বল নিউক্লীয় বল} \\ \hline \text{পাল্লা} & \text{অসীম} & \text{অসীম} & 10^{-15} \, \text{m} & 10^{-16} \, \text{m} \\ \text{আপেক্ষিক সবলতা} & 1 & 10^{39} & 10^{41} & 10^{30} \\ \hline \end{array}\)

\(\text{Solve: } F = \frac{mv - mu}{t}\) \(\implies F = \frac{0.16 \times (-25) - 0.16 \times 15}{10 \times 10^{-3}}\) \(\implies F = \frac{-4 - 2.4}{0.01} = \frac{-6.4}{0.01} = 640 \, \text{N}\) \(\text{Ans. (B)}\)

\(\text{Solve: } T = m\omega^2r\) \(\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.2} = 10\pi\) \(T = m\omega^2r\) \(\phantom{T} = 0.02 \times (10\pi)^2 \times 5 = 98.7\) \(\text{Ans. (C)}\)

\(\text{Solve: } \vec{E} = (3\hat{i} + 4\hat{j}) \, \text{NC}^{-1}\) \(E = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \, \text{NC}^{-1}\) \(a = \frac{qE}{m}\) \(\phantom{a} = \frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 5}{4 \, \text{amu}}\) \(\phantom{a} = \frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 5}{4 \times 1.66 \times 10^{-27}}\) \(\phantom{a} = 2.4 \times 10^8 \, \text{ms}^{-2}\) \(\text{Ans. (D)}\)

প্রশ্নটি গতি ও ভরের সংরক্ষণ সূত্র (Conservation of Momentum) অনুযায়ী সমাধান করতে হবে। প্রদত্ত তথ্যঃ প্রথম বস্তু: \[ m_1 = 4kg, \quad \vec{v_1} = (2\hat{i} + 3\hat{j}) \text{ m/s} \] দ্বিতীয় বস্তু: \[ m_2 = 6kg, \quad \vec{v_2} = (-4\hat{i} - 6\hat{j}) \text{ m/s} \] মোট ভর: \[ M = m_1 + m_2 = 4 + 6 = 10kg \] মোট ভরবেগ নির্ণয়: \[ \vec{P} = m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2} \] প্রতিটি কম্পোনেন্ট আলাদাভাবে গণনা করি— \[ P_x = (4 \times 2) + (6 \times -4) = 8 - 24 = -16 \] \[ P_y = (4 \times 3) + (6 \times -6) = 12 - 36 = -24 \] তাহলে মোট ভরবেগ, \[ \vec{P} = (-16\hat{i} - 24\hat{j}) \text{ kg⋅m/s} \] চূড়ান্ত বেগ নির্ণয়: \[ \vec{V} = \frac{\vec{P}}{M} = \frac{(-16\hat{i} - 24\hat{j})}{10} \] \[ \vec{V} = (-1.6\hat{i} - 2.4\hat{j}) \text{ m/s} \] বেগের মান নির্ণয়: \[ V = \sqrt{(-1.6)^2 + (-2.4)^2} \] \[ V = \sqrt{2.56 + 5.76} = \sqrt{8.32} \] \[ V \approx 2.88 \text{ m/s} \] সঠিক উত্তর: \[ \mathbf{E. \ 2.88} \]

\(I = Mr^2 \implies r = \sqrt{\frac{I}{M}} = \sqrt{\frac{3.1}{1.5}} = 1.43 \, \mathrm{m}\) \(\text{Ans. (A)}\)

কৌনিক ভরবেগ \( L = \frac{nh}{2\pi} \implies L = n\hbar \, \text{(যেহেতু } \hbar = \frac{h}{2\pi} \text{)} \)

\(\text{Solve: } I = I_G + Mr^2 = 2.5 + 3 \times (1.2)^2 = 6.82 \\ \text{Ans. (B)}\)

\(L = r p \sin \theta\) \(\implies \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\) \(\tau = r F \sin \theta \implies \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}\) \(\text{Ans. (B)}\)

4Kg ভরের একটি বস্তুর উপর চিত্রানুযায়ী 3√2N ও 4√2N মানের বল ক্রিয়াশীল। বস্তুটির ত্বরণ সর্বাংশে +x অক্ষ বরাবর 1.0 m/s² হতে হলে কত বল উপাংশ (Fx, Fy) N অনুযায়ী প্রয়োগ করতে হবে?

\(\text{Solve: } y = 4\sqrt{2}\sin 45^\circ + 3\sqrt{2}\sin 45^\circ \\ = 4 + 3 = 7 \\ x = 3\sqrt{2}\cos 45^\circ - 4\sqrt{2}\cos 45^\circ \\ = 3 - 4 = -1 \\ F = ma = 4 \times 1 = 4 \, \text{N বল} \\ \therefore F_x = 3; \, F_y = -7\)

\(\text{Solve: } m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1 + m_2)v \\ \implies v = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2} = \frac{40 \times 10 + 60 \times (-5)}{40 + 60} = 1 \, \text{ms}^{-1}\)

\(\text{Hints: } L = I\omega \\ \text{Solve: } L = mr^2 \times \omega \\ = mr^2 \times \frac{2\pi N}{T} \, \text{[} \omega = \frac{2\pi}{T} \text{]} \\ = 6 \times 10^{-3} \times (3)^2 \times 2 \times 3.1416 \times 4 \\ = 1.36 \, \text{kgm}^2\text{s}^{-1} \\ \text{Ans. (E)}\)

\(I = \frac{1}{2} M r^2 = M K^2 \implies K = \frac{r}{\sqrt{2}} = 14.1 \, \mathrm{cm}\) \(\text{Ans. (B)}\)

\(F = m \frac{v^2}{r} \implies F = 6 \times \frac{(2)^2}{3} \implies F = 8 \, \mathrm{N}\) \(\text{Ans. (D)}\)

\(\text{Hints: } \tan \theta = \sin \theta = \frac{h}{x}; \, \tan \theta = \frac{v^2}{rg}\) \(\text{Solve: } r = 200 \, \mathrm{m}, \, v = 50.4 \, \mathrm{km/h} = \frac{50.4 \times 1000}{3600} = 14 \, \mathrm{ms^{-1}}\) \(\tan \theta = \frac{v^2}{rg} = \frac{(14)^2}{200 \times 9.8} = 0.1 \implies \theta = \tan^{-1}(0.1) = 5.7^\circ\) \(\text{ধরা যাক, } \tan \theta = \sin \theta = \frac{h}{x} \implies h = 0.1 \, \mathrm{m}\) \(\text{Ans. (C)}\)

\(\text{Hints: কেন্দ্রাতিগ বল, } F = m\omega^2r\) \(\text{Solve: } F = \frac{mv^2}{r} = \frac{m\omega^2r^2}{r} \, [v = \omega r]\) \(\implies F = m\omega^2r \, [m = \text{ভর, } v = \text{রৈখিক বেগ, } \omega = \text{কৌণিক বেগ, } r = \text{ব্যাসার্ধ}]\) \(\implies F = 0.02 \times (3\pi)^2 \times 0.5 = 9\pi^2 \times 0.02 \times 0.5 = 0.09\pi^2\) \(\text{Ans. (C)}\)

\(\text{Hints: ব্রেকজনিত বল + ঘর্ষণ বল = গাড়ি থামাতে প্রয়োজনীয় মোট বল।}\) \(\text{Solve: গাড়িটির আদিবেগ, } v_0 = 60 \, \text{km/h} = \frac{60 \times 1000}{3600} = 16.66 \, \text{m/s}\) \(\text{শেষবেগ, } v = 0, \, s = 50\) \(\therefore v^2 = v_0^2 - 2as \implies a = \frac{v_0^2}{2s} = 2.78\) \(\text{গাড়ি থামাতে প্রয়োজনীয় মোট বল } = ma = 500 \times 2.78 = 1390 \, \text{N}\) \(\text{ব্রেকজনিত বল + ঘর্ষণ বল = 1390}\) \(\therefore \text{ব্রেকজনিত বল + 100 = 1390} \implies \text{ব্রেকজনিত বল = 1290 N}\) \(\text{Ans. (E)}\)

\(\text{Hints: } \tan\theta = \frac{v^2}{rg}\) \(\text{Solve: এখানে, } v = 25\text{km/hr} = \frac{25 \times 1000}{3600} \, \text{m/s} = 6.94 \, \text{m/s}\) \(r = 50 \, \text{m}, \, g = 9.8 \, \text{ms}^{-2}\) \(\text{আমরা জানি, } \tan\theta = \frac{v^2}{rg} \implies \theta = \tan^{-1}\left(\frac{v^2}{rg}\right)\) \(\implies \theta = \tan^{-1}\left(\frac{(6.94)^2}{50 \times 9.8}\right) \implies \theta = 5.61^\circ\) \(\text{Ans. (C)}\)

\(\text{Hints: } a = \frac{F - F_k}{m} = \frac{\text{কার্যকর বল}}{\text{ভর}}\) \(\text{Solve: কার্যকর বল, } F' = F - F_k; \, F = \text{প্রয়োগকৃত বল, } F_k = \text{বাঁধাদানকারী ঘর্ষণবল}\) \(\implies F = \mu_k R = F - (\mu_k \times mg) = 600 - (0.5 \times 80 \times 9.8) = 208 \, \text{N}\) \(\therefore \text{বাক্সের ত্বরণ, } a = \frac{F'}{m} = \frac{208}{80} = 2.6 \, \text{ms}^{-2}\) \(\text{Ans. (C)}\)

\(\text{Hints: } m_1u_1 + m_2u_2 = (m_1 + m_2)v\) \(\text{Solve: } m_1u_1 + m_2u_2 = (m_1 + m_2)v \implies v = \frac{m_1u_1 + m_2u_2}{m_1 + m_2}\) \(\implies v = \frac{1 + 10^{-3}(-1000)}{1 + 10^{-3}} = 0 \, \text{m/s} \, [\text{বুলেটের বেগ বিপরীতমুখী, } u_2 = -1000]\) \(\text{Ans. (D)}\)

\(\text{Hints: } \text{অনুভূত ওজন হচ্ছে তলের প্রতিক্রিয়া বল।}\) \(\text{Solve: পড়ন্ত অবস্থায় প্রতিক্রিয়া বল না থাকায় অনুভূত ওজন শূন্য।}\) \(\text{Ans. (D)}\)

\(\text{Hints: } v = \frac{Ft}{m}\) \(\text{Solve: বলের ঘাত = ভরবেগের পরিবর্তন} \implies Ft = mv - mu\) \(\implies v = \frac{Ft}{m} \, [\because u = 0] \implies v = \frac{1 \times 1 \times 10^{-6}}{9.1 \times 10^{-31}} = 1.1 \times 10^{24} \, \text{ms}^{-1}\) \(\text{Ans. (D)}\)