\(\text{Given: } m_1gh = \frac{1}{2}m_2v^2 \implies h = \frac{\frac{1}{2} \times 2000 \times (6.944)^2}{50 \times 9.8} = 98.4 \, \text{m}\)

\(v = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}\) \(E_k = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times \frac{200}{1000} \times 40 = 4 \, \mathrm{J}\)

\(\vec{v} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}; \, |\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{24}\) \(W = \frac{1}{2}m v_1^2 - \frac{1}{2}m v_2^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (\sqrt{24})^2 - 0 = 24 \, \mathrm{J}\) \([v_1 = |\vec{v}| = \sqrt{24}, v_2 = 0]\)

\(\text{Solve: } W = \int_{0}^{2} dw = \int_{0}^{2} F dx = \int_{0}^{2} (6x^2 + 2) dx \\ = \int_{0}^{2} 6x^2 dx + \int_{0}^{2} 2 dx = \frac{6}{3}[x^3]_0^2 + 2[x]_0^2 \\ = 2 \times 8 + 2 \times 2 = 20 \\ \text{Ans. (E)}\)

\(\text{এক চতুর্থাংশ উচ্চতায় বিভবশক্তি } \frac{500}{4} = 125\) \(\therefore \text{গতিশক্তি, } E_k = (500 - 125) = 375 \, \mathrm{J}\)

\(\text{Solve: } k = 1 \, \text{N/m} \\ x = 0.1 \, \text{m} \\ \therefore E_p = \frac{1}{2} \times 1 \times (0.1)^2 = 5 \times 10^{-3} \\ \text{Ans. (D)}\)

\(\text{Hints: মোট কাজ = বল × সরণ বা, } W = Fx\) \(\text{Solve: চিত্র হতে, } F = mg\sin\theta\) \(\text{আবার, } \sin\theta = \frac{5}{\text{AB}} \implies \text{AB} = \frac{5}{\sin\theta}\) \(\therefore x = \text{AB} = \frac{5}{\sin\theta}\) \(\therefore W = Fx\) \(\implies W = mg\sin\theta \times \frac{5}{\sin\theta}\) \(\implies W = 100 \times 5 \, [mg = 100] = 500 \, J\) \(\text{Ans. (D)}\) \(\text{ব্যাখ্যা: কাজ হচ্ছে বল এবং বলের দিকে সরণের গুণফল।}\) \(\text{এই জন্য কাজ হিসাব করার সময় বল এবং সরণের দিকে একই দিকে নেওয়া হয়।}\) \(\text{কাজ নির্ণয়ের সময় বল এবং সরণ একই দিকে নিয়ে আসা হয় বিধায় } W = Fx \, \text{লাগু হয়।}\)

\(\text{Hints: } \text{গতিশক্তি = বল × স্থানান্তর। }\) \(\text{Solve: } E_k = \frac{1}{2} mv^2 \implies E_k \propto v^2\) \(\frac{1}{2} \to \frac{1}{4} \implies E_k = 0.5 \times 10^5\) \(\text{Ans. (E)}\)

\(\frac{E_{k2}}{E_{k1}} = \frac{V_2^2}{V_1^2} \implies E_{k2} = \left(\frac{20}{40}\right)^2 \times 2 \times 10^5 = 5 \times 10^4 \, \mathrm{J}\) \(\text{Ans. (D)}\)

\(\text{Hints: ভূমি হতে 5m উচ্চতায় বিভব শক্তি ও গতিশক্তি নির্ণয় করে } E_k = 4E_p \, \text{সম্পর্ক হতে উচ্চতা নির্ণয় করতে হবে।}\) \(\text{Solve: ধরি, বস্তুর } h \, \text{উচ্চতায় ছিল।}\) \(\text{5 মিটার উচ্চতায় বিভবশক্তি, } E_p = mg \times 5\) \(\text{শেষবেগ, } v^2 = u^2 + 2g(h - 5) = 2g(h - 5) \, [\text{আদিবেগ } u = 0]\) \(\therefore \text{গতিশক্তি, } E_k = \frac{1}{2}m \times 2g(h - 5) = mg(h - 5)\) \(\text{প্রশ্নমতে, } E_k = 4E_p\) \(\implies mg(h - 5) = 4 \times mg \times 5\) \(\implies h - 5 = 20 \implies h = 25 \, \text{m}\) \(\text{Ans. (B)}\)

\(\text{Solve: স্প্রিং এর ক্ষেত্রে, } F = kx \implies k = \frac{mg}{x} \, [F = mg] \\ \implies k = \frac{1 \times 9.8}{0.1} = 98 \, \text{Nm}^{-1} \\ \text{স্প্রিং এর ক্ষেত্রে কাজ, } W = \frac{1}{2}kx^2 \implies mgh = \frac{1}{2}kx^2 \\ \implies x = \sqrt{\frac{2mgh}{k}} = \sqrt{\frac{2 \times 5 \times 9.8 \times 1}{98}} \\ \implies x = 1 \, \text{m} \\ \text{Ans. (B)}\)

আনুমানিক করা হয় g এর প্রভাব 0 এবং অতিক্ষুদ্র বসু প্রাণা হ্রাস 0।

\(\text{Hints: } H = \frac{v^2}{2g}, \, mgx = mg(h - x)\) \(\text{Solve: } H = \frac{v^2}{2g} = \frac{400}{2 \times 9.8} = 20.4\) \(\therefore h = 10 + H = 10 + 20.4 = 30.4 \approx 30\) \(\text{শর্তমতে, } mgx = mg(h - x)\) \(h = \text{মোট উচ্চতা}; \, x = \text{ভূমি হতে যে উচ্চতায় বিভব শক্তি ও গতিশক্তি সমান}\) \(\implies x = h - x \implies 2x = 30 \implies x = 15\) \(\text{Ans. (C)}\)

\(\text{Hints: } W = F s \cos\theta\) \(\text{Solve: আমরা জানি, } W = F s \cos\theta\) \(\implies W = F s \cos 90^\circ \, \text{[বল ও সরণের মধ্যবর্তী কোণ, } \theta = 90^\circ]\) \(\implies W = 0\) \(\text{Ans. (A)}\)

\(\text{Hints: } \text{ভূমি হতে 5m উচ্চতায় বিভব শক্তি ও গতিশক্তি নির্ণয় করতে হবে।}\) \(\text{Solve: ধরি, বস্তুর মোট উচ্চতা } h \, \text{ছিল।}\) \(5 \, \text{মিটার উচ্চতায় বিভবশক্তি, } E_p = mg \times 5\) \(\text{শেষবেগ, } v^2 = u^2 + 2g(h - 5) = 2g(h - 5) \, \text{[আদিবেগ } u = 0]\) \(\text{গতিশক্তি, } E_k = \frac{1}{2}m \times 2g(h - 5) = mg(h - 5)\) \(\text{প্রশ্নমতে, } E_k = 4E_p\) \(\therefore mg(h - 5) = 4 \times mg \times 5\) \(\implies h - 5 = 20 \implies h = 25 \, \text{m}\) \(\text{Ans. (B)}\)

\(\text{Solve: } mg(10) = \frac{1}{2}mg(h - 10)\) \(\therefore h = 30 \, \text{m}\) \(\text{Ans. (C)}\)

\(\text{Hints: } F = kx, \, W = \frac{1}{2}kx^2\) \(\text{Solve: আমরা জানি, } F = kx \implies k = \frac{F}{x} = \frac{25}{10} = 2.5 \, \text{Ncm}^{-1}\) \[ W = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2} \times 2.5 \times (6)^2 = 45 \, \text{Ncm} \, \text{[কাজ = বল × সরণ; J = Nm]} \] \[ W = 45 \times 10^{-2} \, \text{Nm} = 0.45 \, \text{J} \] \(\text{Ans. (D)}\) \(\text{ব্যাখ্যা: একটি স্প্রিং যখন টেনে লম্বা করা হয়, তখন সব অংশের দৈর্ঘ্য সমানভাবে বৃদ্ধি পায় না।}\)

\(\text{Hints: } v^2 = u^2 + 2gh\) \(\text{Solve: } v^2 = u^2 + 2gh \implies v = \sqrt{u^2 + 2gh} \, \text{[u = 0]} \) \(\implies v = \sqrt{0^2 + 2 \times 9.8 \times 122.5} \implies v = 49 \, \text{ms}^{-1}\) \(\text{Ans. (C)}\)

Hints: \( F = kx \) Solve: \( F = kx = 125 \times 0.04 = 5 \, \text{N} \) Ans. (C) ব্যাখ্যা: স্প্রিংকে \( x \) পরিমাণ সরণ ঘটাতে প্রয়োগবল \( F \) হলে, \( F \propto x \implies F = kx \)।