\(\text{Solve: কৌনিক দ্রুততার নিত্যতা সূত্র থেকে কেপলারের 2য় সূত্র প্রমাণ করা যায়।}\) \(\text{Ans. (D)}\) \(\text{ব্যাখ্যা: } d\theta \, \text{ক্ষুদ্র কোণে বলে, } d\theta = \frac{AB}{r}\) \(\implies AB = rd\theta \, [\theta = \text{ব্যাসার্ধ}]\) \(dA = \frac{1}{2} \times r \times rd\theta\) \([ \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা} ]\) \(\therefore \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \times r \times \left( r \frac{d\theta}{dt} \right) = \frac{1}{2} \times r \times r \omega \, [\because \frac{d\theta}{dt} = \omega]\) \(\implies \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \times r \times v \, [\because v = \omega r] = \frac{1}{2} Mvr = \frac{1}{2} L \, [\because L = Mvr]\) \(\therefore \frac{dA}{dt} \, \text{স্থির হবে যেহেতু } L \, \text{স্থির।}\) \(\text{অতএব, কেপলারের 2য় সূত্র কৌনিক দ্রুততার নিত্যতা সূত্র থেকে প্রমাণ করা যায়।}\)

\(v_c = \sqrt{2gR} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 8 \times 1.28 \times 10^7} = 44800 \, \mathrm{ms^{-1}} = 44.8 \, \mathrm{kms^{-1}}\)

\(\text{Hints: } g' = \left(\frac{R}{R+h}\right)^2 g \, \text{অথবা, } g' = g\left(1 - \frac{2h}{R}\right) \\ \text{Solve: } g_h = g \, \text{সূত্রানুযায়ী,} \\ = \left(\frac{6400 \times 10^3}{6400 \times 10^3 + 200 \times 10^3}\right)^2 \times 9.8 \\ = 9.22 \, \text{ms}^{-2} \\ \text{আবার, } g_h = \left(1 - \frac{2h}{R}\right)g \, \text{সূত্রানুযায়ী,} \\ = \left(1 - \frac{2 \times 200 \times 10^3}{6400 \times 10^3}\right) \times 9.8 \\ = 9.1875 \, \text{ms}^{-2} \approx 9.19 \, \text{ms}^{-2} \\ \text{Ans. (A)}\)

\(\frac{T_m}{T_e} = \sqrt{\frac{\text{ভরের গুণফল}}{\text{ব্যাসার্ধের গুণফল}}} = \sqrt{\frac{81}{4}} \implies T_e = 4 \times \frac{9}{4} = 9 \, \mathrm{s}\) \(\text{Ans. (C)}\)

\(\text{Hints: } v = \sqrt{\frac{gR^2}{R + h}}\) \(\text{Solve: } R = 6400 \, \mathrm{km} = 6.4 \times 10^6 \, \mathrm{m}, \, h = 700 \, \mathrm{km} = 700 \times 10^3 \, \mathrm{m}\) \(\therefore v = \sqrt{\frac{9.8 \times (6.4 \times 10^6)^2}{6.4 \times 10^6 + 700 \times 10^3}} = 7519 \, \mathrm{ms^{-1}}\) \(\text{Ans. (D)}\)

\(\text{Solve: } \frac{T_s^2}{T_e^2} = \frac{R_s^3}{R_e^3}\) \(\text{ধরি, } T_s = \text{শনি গ্রহের পর্যায়কাল, } T_e = \text{পৃথিবীর পর্যায়কাল, } R_s = \text{শনি গ্রহের ব্যাসার্ধ, } R_e = \text{পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, } R_s = 10R_e\) \(\implies \frac{T_s^2}{T_e^2} = \frac{(10R_e)^3}{R_e^3} \implies \frac{T_s^2}{T_e^2} = 10^3 \implies T_s = \sqrt{10^3} = 31.6 \approx 32\) \(\text{Ans. (D)}\)

\(\text{Hints: } \frac{g_m}{g_e} = \frac{R_m}{R_e}\) \(\text{Solve: } \frac{g_m}{g_e} = \frac{R_m}{R_e} \implies R_m = \frac{g_m}{g_e} \times R_e\) \(\because g_m = \frac{1}{6} g_e, \, R_e = 6000 \, \text{km} \implies R_m = \frac{1}{6} \times 6000 = 1000 \, \text{km}\) \(\text{Ans. (C)}\)

\(\text{Hints: } g_h = \left(1 - \frac{h}{R}\right)g\) \(\text{Solve: } g_h = \left(1 - \frac{h}{R}\right)g = \left(1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{R}\right)g = \frac{1}{2}g = 4.9 \, \text{m/s}^2\) \(\text{Ans. (B)}\)

\(\text{Hints: } \frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{R_1^3}{R_2^3}\) \(\text{Solve: } \frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{R_1^3}{R_2^3} \implies T_2^2 = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3 \times T_1^2\) \(\implies T_2 = \left(\frac{230 \times 10^6}{150 \times 10^6}\right)^{3/2} \times 1 \implies T_2 = 1.90 \, \text{বছর}\) \(\text{Ans. (C)}\)

\(\text{Hints: } \frac{g_h}{g} = \left(\frac{R}{R+h}\right)^2\) \(\text{Solve: } \frac{g_h}{g} = \left(\frac{R}{R+h}\right)^2 \implies g_h = \left(\frac{R}{2R}\right)^2 \times g \implies g_h = 2.45 \, \text{ms}^{-2}\) \(\text{Ans. (C)}\)

\(\text{Hints: } g' = g \left(1 - \frac{h}{R}\right)\) \(\text{Solve: } g' = g\left(1 - \frac{1}{2}\right) \implies g' = \frac{1}{2} \cdot g\) \(\therefore g' = 4.9 \, \text{m/s}^2\) \(\text{Ans. (B)}\) \(\text{ব্যাখ্যা: ভূপৃষ্ঠে } g = \frac{GM}{R^2} \dots (i)\) \(\text{ভূপৃষ্ঠ হতে } h \, \text{উচ্চতায়, } g_h = \frac{GM}{(R+h)^2} \dots (ii)\) \(\text{যেখানে, } h \ll R \, \text{থাকলে, } g_h = g\left(1 - \frac{2h}{R}\right).\)

Hints: \( g' = g\left(1 - \frac{h}{R}\right) \) Solve: \( g' = g\left(1 - \frac{1}{2}\frac{R}{R}\right) \implies g' = g\left(1 - \frac{1}{2}\right) \implies g' = \frac{1}{2} \times g \) \( \therefore g' = 4.9 \, \text{m/s}^2 \) Ans. (B) ব্যাখ্যা: ভূ-পৃষ্ঠে, \( g = \frac{GM}{R^2} \) ........(i) ভূ-পৃষ্ঠ হতে \( h \) উচ্চতায়, \( g_h = \frac{GM}{(R + h)^2} \) ........(ii) ভূ-পৃষ্ঠের \( g \) এর সাথে \( h \) উচ্চতার \( g_h \) এর সম্পর্ক হলো- \( g_h = \frac{R^2}{(R + h)^2} g \) [ii ÷ i করলে] \(\implies g_h = \left(1 - \frac{2h}{R}\right)g\) \( h \ll R \) হলে প্রয়োগ করা যায় \( g_h = \left(1 - \frac{2h}{R}\right)g \) যেকোনো একটি সূত্র ব্যবহার করে \( h \) উচ্চতায় \( g_h \) নির্ধারণ করা যায়। তবে অবশ্যই মনে রাখতে হবে দ্বিতীয় সূত্রটি ক্ষেত্রে মান \( h \ll R \) অর্থাৎ \( h \) যখন \( R \) হতে অনেক অনেক ছোট তখন ব্যবহার করা যাবে।