\(\text{Solve: } v = 5 \, \text{kmh}^{-1} = \frac{5000}{3600} \, \text{ms}^{-1} = 1.39 \, \text{ms}^{-1}\) \(t = \frac{d}{v \sin\theta} \implies \sin\theta = \frac{d}{vt} \implies \theta = \sin^{-1}\left(\frac{d}{vt}\right)\) \(\theta = \sin^{-1}\left(\frac{500}{1.39 \times 720}\right) \, \text{[সবকিছু S.I. এককে নেওয়া হয়েছে]}\) \(\theta = 30^\circ\) \(\text{Ans. (A)}\) \(\text{ব্যাখ্যা: }\) \(\text{AC পথে রওনা হলে, } t = \frac{d}{v \sin\alpha}\) \(\text{AD পথে রওনা হলে, } t = \frac{d}{v} \, \text{[}\sin90^\circ = 1\text{]}\) \(\text{AE পথে রওনা হলে, } t = \frac{d}{v \sin\theta}\)

\(\text{Solve: } T = \frac{hrpg}{2} \implies h = \frac{2T}{rpg} \implies h \propto \frac{1}{r}\) \(\text{Ans. (A)}\)

\(\text{Solve: } \mu_1 = \rho \pi r_1^2 h; \, \mu_2 = \rho \pi r_2^2 h\) \(\frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{\pi \rho r_2^2 h}{\pi \rho r_1^2 h} = \frac{r_2^2}{r_1^2}\) \(\text{যেহেতু } r_2 = 3r_1, \, \frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{(3r_1)^2}{r_1^2} = \frac{9r_1^2}{r_1^2}\) \(\mu_2 = 9\mu_1 \implies \frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{1}{9}\) \(\text{আবার, } v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}\) \(\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{\mu_1}{\mu_2}} \, \text{[যেহেতু } T \text{ স্থির]}\) \(\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{1}{9}} \implies v_2 = \frac{1}{3}v_1 \implies v_2 = \frac{1}{3} \times 1500 = 500 \, \text{ms}^{-1}\) \(\text{Ans. (B)}\)

\(\text{Solve: প্রবল নিউক্লীয় বলের পাল্লা } 10^{-15} \, \text{m।}\) \(\text{Ans. (A)}\) \(\text{ব্যাখ্যা: প্রবল নিউক্লীয় বল নিউক্লিয়াসের মধ্যে প্রোটন ও নিউট্রনকে আবদ্ধ করে রাখে।}\) \(\text{তাই বলা যায় প্রবল নিউক্লীয় বলের পাল্লা পরমাণুর নিউক্লিয়াস অর্থাৎ } 10^{-15} \, \text{m।}\) \(\text{চারটি মৌলিক বলের পাল্লা ও আপেক্ষিক শক্তির তুলনা:}\) \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{মৌলিক বল} & \text{মহাকর্ষ বল} & \text{তড়িৎ-চৌম্বক বল} & \text{প্রবল নিউক্লীয় বল} & \text{দুর্বল নিউক্লীয় বল} \\ \hline \text{পাল্লা} & \text{অসীম} & \text{অসীম} & 10^{-15} \, \text{m} & 10^{-16} \, \text{m} \\ \text{আপেক্ষিক সবলতা} & 1 & 10^{39} & 10^{41} & 10^{30} \\ \hline \end{array}\)

\(\text{Solve: } F = \frac{mv - mu}{t}\) \(\implies F = \frac{0.16 \times (-25) - 0.16 \times 15}{10 \times 10^{-3}}\) \(\implies F = \frac{-4 - 2.4}{0.01} = \frac{-6.4}{0.01} = 640 \, \text{N}\) \(\text{Ans. (B)}\)

\(\text{Solve: } T = m\omega^2r\) \(\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.2} = 10\pi\) \(T = m\omega^2r\) \(\phantom{T} = 0.02 \times (10\pi)^2 \times 5 = 98.7\) \(\text{Ans. (C)}\)

\(\text{Solve: } \vec{E} = (3\hat{i} + 4\hat{j}) \, \text{NC}^{-1}\) \(E = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \, \text{NC}^{-1}\) \(a = \frac{qE}{m}\) \(\phantom{a} = \frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 5}{4 \, \text{amu}}\) \(\phantom{a} = \frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 5}{4 \times 1.66 \times 10^{-27}}\) \(\phantom{a} = 2.4 \times 10^8 \, \text{ms}^{-2}\) \(\text{Ans. (D)}\)

\(\text{Solve: } Y = \frac{F}{\frac{A}{l}} \implies Y = \frac{FL}{Al} = \frac{mgL}{\pi r^2 l}\) \(\phantom{Y} = \frac{70 \times 9.8 \times 60}{3.14 \times (4.5 \times 10^{-3})^2 \times 1.5} = 4.31 \times 10^8 \, \text{Pa}\) \(\text{Ans. (C)}\)

প্রশ্নটি গতি ও ভরের সংরক্ষণ সূত্র (Conservation of Momentum) অনুযায়ী সমাধান করতে হবে। প্রদত্ত তথ্যঃ প্রথম বস্তু: \[ m_1 = 4kg, \quad \vec{v_1} = (2\hat{i} + 3\hat{j}) \text{ m/s} \] দ্বিতীয় বস্তু: \[ m_2 = 6kg, \quad \vec{v_2} = (-4\hat{i} - 6\hat{j}) \text{ m/s} \] মোট ভর: \[ M = m_1 + m_2 = 4 + 6 = 10kg \] মোট ভরবেগ নির্ণয়: \[ \vec{P} = m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2} \] প্রতিটি কম্পোনেন্ট আলাদাভাবে গণনা করি— \[ P_x = (4 \times 2) + (6 \times -4) = 8 - 24 = -16 \] \[ P_y = (4 \times 3) + (6 \times -6) = 12 - 36 = -24 \] তাহলে মোট ভরবেগ, \[ \vec{P} = (-16\hat{i} - 24\hat{j}) \text{ kg⋅m/s} \] চূড়ান্ত বেগ নির্ণয়: \[ \vec{V} = \frac{\vec{P}}{M} = \frac{(-16\hat{i} - 24\hat{j})}{10} \] \[ \vec{V} = (-1.6\hat{i} - 2.4\hat{j}) \text{ m/s} \] বেগের মান নির্ণয়: \[ V = \sqrt{(-1.6)^2 + (-2.4)^2} \] \[ V = \sqrt{2.56 + 5.76} = \sqrt{8.32} \] \[ V \approx 2.88 \text{ m/s} \] সঠিক উত্তর: \[ \mathbf{E. \ 2.88} \]

\(\text{Solve: } F = mg\frac{x}{L} \implies 0.24 = 0.3 \times 9.8 \times \frac{0.2}{L} \implies L = 2.45\) \(T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{2.45}{9.8}} = 3.14\) \(\text{Ans. (D)}\) \(\text{ব্যাখ্যা: } F = mg\sin\theta\) \(F = mg\theta \, [\theta \, \text{ক্ষুদ্র হলে } \sin\theta \approx \theta]\) \(F = mg\frac{x}{L}\) \(\text{মনে করো, আমরা } m \, \text{ভরের একটি গোলককে } L \, \text{দৈর্ঘ্যের একটি সূতার সাহায্যে ঝুলিয়ে দিলাম। গোলকটি যদি }\) \(\text{আমরা } \theta \, \text{কোনে টেনে ছেড়ে দেই, তখন তা পূর্বের অবস্থানে আসার জন্য গতি লাভ করবে।}\) \(\text{গোলকের ভারের উপাংশ } mg\sin\theta \, \text{থেকে আমরা পুনরায় লিখতে পারি } mg\frac{x}{L}\।\)

\(y = v_0 \sin \theta_0 t - \frac{1}{2} g t^2\) \(\implies 38 = 50 \sin 40^\circ t - 4.9t^2\) \(\implies 4.9t^2 - 32.12t + 38 = 0\) \(\text{দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করে পাই, } t_1 = 1.55, \, t_2 = 5.01\) \(\therefore t_2 - t_1 = 5.01 - 1.55 = 3.46\) \(\text{Ans. (C)}\)

\(1\text{ম ক্ষেত্র, } v^2 = u^2 - 2as \implies 2as = u^2 - v^2\) \(\implies a = \frac{u^2 - \left(\frac{1}{3}u\right)^2}{2s} = \frac{u^2 - \frac{u^2}{9}}{2s} = \frac{8u^2}{18s} = \frac{u^2}{9s}\) \(\text{যেহেতু দুই তৃতীয়াংশ বেগ হ্রাস পায়, তাই শেষ বেগ হবে এক তৃতীয়াংশ অর্থাৎ } v = \frac{1}{3}u\) \(2\text{য় ক্ষেত্র, } v^2 = u^2 - 2as\) \(\implies 0 = u^2 - 2as \implies s = \frac{u^2}{2a}\) \(\implies s = \frac{\left(\frac{1}{3}u\right)^2}{2 \times \frac{u^2}{9s}} = \frac{\frac{u^2}{9}}{\frac{2u^2}{9}} = \frac{1}{2} = 0.5\) \(\text{Ans. (A)}\)

বেগ-সময় লেখচিত্র অনুযায়ী 12 সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব কত m?

\(A_1 = \frac{1}{2} \times (2 + 8) \times 6 = 30\) \(A_2 = 8 \times 6 = 48\) \(A = A_1 + A_2 = 78\) \(\text{Ans. (B)}\)

Solve: \( \text{Area} = \int_{1}^{8} y dx = \int_{1}^{8} x^{2/3} \ln x \, dx \) Here, \( \int \ln x \cdot x^{2/3} dx = \ln x \cdot \frac{x^{5/3}}{5/3} - \int \frac{d}{dx}(\ln x) \cdot \frac{x^{5/3}}{5/3} dx \) \(\implies \ln x \cdot \frac{x^{5/3}}{5/3} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{5/3}}{5/3} dx = \frac{3}{5} x^{5/3} \ln x - \frac{3}{5} \int x^{2/3} dx\) \(\therefore \text{Area} = \frac{9}{25} \left[ x^{5/3} \left(\frac{5}{3} \ln x - 1\right) \right]_1^8 = \frac{9}{25} [160 \ln 2 - 32 + 1] = \frac{9}{25} (160 \ln 2 - 31)\) Ans. (A)

Solve: \( L.H.L: \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x) = \lim_{h \to 0} (0 - h) = 0 - 0 = 0\) R.H.L: \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2) = \lim_{h \to 0} (0 + h)^2 = (0 + 0)^2 = 0\) Ans. ©\)

প্রশ্ন বিশ্লেষণ: এখানে \(x = \sqrt{2}\) হলে, \(\cos \sin^{-1} \tan \sin^{-1} \sqrt{1 + x^2}\) এর মান নির্ণয় করতে বলা হয়েছে। অপশন বিশ্লেষণ: A. \( \frac{1}{\sqrt{3}} \): ভুল, এটি সঠিক নয়। B. 0: ভুল, এটি সঠিক নয়। C. \( \sqrt{2} \): ভুল, এটি সঠিক নয়। D. 1: ভুল, এটি সঠিক নয়। E. \( \frac{1}{\sqrt{2}} \): সঠিক, এটি সঠিক উত্তর। নোট: এই ধরনের প্রশ্নে ত্রিকোণমিতিক রূপান্তর প্রয়োজন এবং ধাপে ধাপে সঠিক মান বের করতে হবে।

Solve: \(A_{11} = \begin{vmatrix}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} = a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32} \\ A_{12} = -\begin{vmatrix}a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}\end{vmatrix} = -a_{21}a_{33} + a_{31}a_{23} \\ A_{13} = \begin{vmatrix}a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{vmatrix} = a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31} \\ \therefore a_{21}A_{11} + a_{22}A_{12} + a_{23}A_{13} = a_{21}a_{22}a_{33} - a_{21}a_{23}a_{32} + a_{22}a_{23}a_{31} - a_{22}a_{21}a_{33} + a_{21}a_{23}a_{32} - a_{22}a_{23}a_{31} = 0 \\ \text{Ans. (E)}\)

প্রশ্ন বিশ্লেষণ: এখানে \(f(x) = \sin x\) ফাংশন দেওয়া হয়েছে এবং \(f(11)(0)\) এর মান নির্ণয় করতে বলা হয়েছে। অপশন বিশ্লেষণ: A. \( \frac{1}{2} \): ভুল, এটি সঠিক নয়। B. 1: ভুল, এটি সঠিক নয়। C. -1: সঠিক, \(\sin 0 = 0\) এবং এর ডেরিভেটিভ \(f'(x) = \cos x\), তাই \(f'(0) = -1\)। D. 0: ভুল, এটি সঠিক নয়। E. \( \frac{1}{\sqrt{2}} \): ভুল, এটি সঠিক নয়। নোট: ফাংশনের ডেরিভেটিভ বের করে যথাযথ মান নির্ণয় করতে হবে।

Solve:\( y = \log_y x \\ \implies y^y = x \, [y = \log_a b \text{ হলে } a^y = b \text{ লেখা যায়}] \\ \implies y \ln y = \ln x \, [\text{উভয়পাশে } \ln \text{ নেয়া হয়েছে}] \\ \implies y \ln y - \ln x = 0 \\ \therefore \frac{dy}{dx} = \frac{-\frac{1}{x}}{-\frac{1}{y} + \ln y - 0} = \frac{1}{x(1 + \ln y)} \\ \text{Ans. (D)}\)

প্রশ্ন বিশ্লেষণ: এখানে \(2x^2 - 4xy + 3y^2 - x + y - 1 = 0\) সমীকরণের জ্যামিতিক রূপ জানতে চাওয়া হয়েছে। অপশন বিশ্লেষণ: A. অধিবৃত্ত: ভুল, এটি সঠিক নয়। B. পরাবৃত্ত: ভুল, এটি সঠিক নয়। C. জোড়া সরলরেখা: ভুল, এটি সঠিক নয়। D. উপবৃত্ত: সঠিক, এটি উপবৃত্ত। E. বৃত্ত: ভুল, এটি সঠিক নয়। নোট: সমীকরণের জ্যামিতিক রূপ নির্ধারণের জন্য এটি বিশ্লেষণ করা যেতে পারে।

Solve: \(y^2 - 2x - 4y + 4 = 0 \, (0, 2) \text{ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ } \\ \implies y.2 - (x + 0) - 2(y + 2) + 4 = 0 \\ \implies 2y - x - 2y - 4 + 4 = 0 \\ \implies -x = 0 \implies x = 0 \\ x = 0 \text{ এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ, } \\ 0.x - 1.y + k = 0, \text{ যা } (0, 2) \text{ বিন্দুগামী। } \\ \therefore -1.2 + k = 0 \implies k = 2 \\ \therefore \text{অভিলম্বের সমীকরণ, } -y + 2 = 0 \implies y = 2 \\ \text{Ans. (A)}\)

প্রশ্ন বিশ্লেষণ: এখানে \(4x^2 - 9y^2 - 8x + 18y - 41 = 0\) কনিকটির অসীমতটদ্বয়ের ঢালের গুণফল কত জানতে চাওয়া হয়েছে। অপশন বিশ্লেষণ: A. \( \frac{3}{2} \): ভুল, এটি সঠিক নয়। B. -0.444444444: সঠিক, এটি সঠিক উত্তর। C. \( \frac{4}{9} \): ভুল, এটি সঠিক নয়। D. -1: ভুল, এটি সঠিক নয়। E. -0.666666667: ভুল, এটি সঠিক নয়। নোট: কনিকের সমীকরণ থেকে ঢালের গুণফল বের করার জন্য কনিকের গাণিতিক বিশ্লেষণ করা হয়।

Solve: \(y = 2 \text{ রেখার লম্ব রেখা, } x + c = 0 \\ (h, k) \text{ বিন্দুগামী হলে, } h + c = 0 \implies c = -h \\ \therefore \text{লম্ব রেখার সমীকরণ, } x - h = 0 \\ \text{Ans. (B)}\)