Hints: \(\frac{C - C_{\text{ice}}}{C_{\text{steam}} - C_{\text{ice}}} = \frac{F - F_{\text{ice}}}{F_{\text{steam}} - F_{\text{ice}}}\) Solve: \(\frac{x - 100}{0 - 100} = \frac{x - 32}{212 - 32} \implies \frac{x - 100}{-100} = \frac{x - 32}{180} \implies 14x = 1060 \implies x = 75.7\) Ans. (E) ব্যাখ্যা: \( \text{নির্দিষ্ট তাপমাত্রা—বরফ বিন্দু থেকে স্ফুটন বিন্দু—সবকিছু একই স্কেলের মধ্যে একক থাকে।} \)

\(\alpha\) always \( 1\).

Hints: তড়িৎ ক্ষেত্রের প্রাবলা, \( E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \times \frac{q}{r^2} \) Solve: অসীম সংখ্যক চার্জের তড়িৎ প্রাবলা, \( E = E_1 + E_2 + \ldots + E_\infty \) \( = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1}{r_1^2} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_2}{r_2^2} + \ldots + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_\infty}{r_\infty^2} \) \( = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \ldots + 0 \right) \) [যেহেতু \( q_1 = q_2 = \ldots = q_\infty = 1C \)] \( = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum \frac{1}{n^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \times \frac{\pi^2}{6} = 1.48 \times 10^{10} \) Ans. (E)

চিত্রে সার্কিটের প্রত্যেকটা রোধের তাপ সহ্য করার ক্ষমতা 1W হলে কোন রোধটি পুড়ে যাবার আশংকা সবচেয়ে বেশী?

Hints: \( P = I^2R \) Solve: মূল প্রবাহ \( I = \frac{V}{R} \) \( \therefore I = \frac{4}{4.5} = 0.889 \, [V = 4V, R = 4.5 \, (\text{তুল্য রোধ})] \) \( 2.5 \, \text{রোধে,} \, P = I^2R = (0.889)^2 \times 2.5 = 1.98 \, W \) যেহেতু \( 2.5 \, \text{রোধে} \, P \, \text{এর মান} \, 1W \, \text{এর চেয়ে বেশি তাই} \, 2.5 \, \text{রোধ পুড়ে যাবে।} \) Ans. (E)

Hints: গৃহীত তাপ = বর্জিত তাপ = \( ms\Delta\theta \) Solve: আমরা জানি, গৃহীত বা বর্জিত তাপ = \( ms\Delta\theta \) ধরি, মিশ্রণের তাপমাত্রা = \( 0^\circ C \) \( 1 \, \text{Liter} \, \text{এর গৃহীত তাপ} = ms\Delta\theta = 1 \times s \times \{0 - (-200)\} \, [\therefore 73K = -200^\circ C] = s (0+200) \) \( 10 \, \text{Liter} \, \text{এর বর্জিত তাপ} = ms\Delta\theta = 10 \times s \times (20 - 0) \) তাপ পরিমাণের নীতি অনুযায়ী, গৃহীত তাপ = বর্জিত তাপ \( \implies s (0+200) = 10s (20-0) \implies 0+200 = 200-100 \) \( \implies 110 = 0 \implies \theta = 0^\circ C \) Ans. (C) ব্যাখ্যা: দুটি ভিন্ন তাপমাত্রার তরল মিশ্রিত করলে কম তাপমাত্রার তরল তাপ গ্রহণ করে এবং বেশি তাপমাত্রার তরল তাপ বর্জন করে মিশ্রণের তাপমাত্রায় পৌঁছে। মিশ্রণের ক্ষেত্রে, গৃহীত তাপ = বর্জিত তাপ গৃহীত তাপ বা বর্জিত তাপ হিসেব করতে হয় \( ms\Delta\theta \) থেকে। \( \Delta\theta = \text{চূড়ান্ত তাপমাত্রা-আদি তাপমাত্রা (তাপ গ্রহণের ক্ষেত্রে)} \) \( \Delta\theta = \text{আদি তাপমাত্রা-চূড়ান্ত তাপমাত্রা (তাপ বর্জনের ক্ষেত্রে)} \)

Hints: ভবযুক্ত কোন বস্তুর আলোর বেগের সমান বা বেশি বেগ অর্জন করতে পারে না। Solve: প্রোটনের সাথে ইলেকট্রনের গতিবেগ 0.95c। যেহেতু প্রোটনটি আবার ল্যাবরেটরির সাথে 0.75c বেগে গতিশীল তাই ইলেকট্রনের বেগ ল্যাবরেটরির সাথে 0.95c এর বেশি হবে। কিন্তু আলোর বেগের চেয়ে বেশি হবে না। সত্ত্বেও ইলেকট্রনের গতিবেগ হয় 0.99c। Ans. (C) ব্যাখ্যা: কোনো বস্তুর বেগ আলোর বেগের চাইতে বেশি হতে পারে না। সুতরাং অপশন (D) ও (E) কখনোই উত্তর হবে না। গতিশীল প্রোটনের সাথে ইলেকট্রনের বেগ 0.95c। প্রোটনটি আবার ল্যাবরেটরির সাথে 0.75c বেগে গতিশীল সুতরাং এ থেকে বোঝা যাচ্ছে ল্যাবরেটরির সাথে ইলেকট্রনের বেগ 0.95c থেকে বেশি হবে। তাই (A) ও (B) অপশনও হবে না। সুতরাং অপশন (C) গ্রহণযোগ্য সমাধান।

Hints: \(\frac{1}{2}C_1V_1^2 = \frac{1}{2}C_2V_2^2\) Solve: ধরি, প্রতিটি ধারকের ধারকত্ব \(C\)। সমান্তরাল থাকা অবস্থায় ধারক, \(C_1 = 2C\) শ্রেণিতে থাকা অবস্থায় ধারক, \(C_2 = \frac{C}{2}\) প্রমাণত, \(\frac{1}{2}C_1V_1^2 = \frac{1}{2}C_2V_2^2 \implies (2C) \times V^2 = \frac{1}{2} \times \frac{C}{2} \times V_2^2 \implies V_2^2 = 4V^2 \therefore V_2 = 2V\) Ans. (D) ব্যাখ্যা: nটি ধারক সিরিজে থাকলে, \(\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} + \cdots + \frac{1}{C_n}\) nটি ধারক সমান্তরালে থাকলে, \(C_p = C_1 + C_2 + C_3 + \cdots + C_n\) আমরা জানি, ধারকের সঞ্চিত শক্তি, \(W = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}QV\) সুতরাং, সমান্তরালে থাকা অবস্থায় ধারকের দুইটির ধারকত্ব, \(C_p = C + C = 2C\) সিরিজে থাকা অবস্থায় ধারকের দুইটির ধারকত্ব, \(\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{1+1}{C} = \frac{2}{C} \implies C_s = \frac{C}{2}\) সুতরাং সমান্তরালে ও সিরিজে থাকা অবস্থায় ধারকের সমাধান হল \(\frac{1}{2}C_1V_1^2 = \frac{1}{2}C_2V_2^2\)

Hints: N_1 \lambda_1 = N_2 \lambda_2 Solve: N_1 \lambda_1 = N_2 \lambda_2 \Rightarrow \lambda_2 = \frac{6000}{2} \, \text{[}N_1 = 1, \, N_2 = 2, \, \lambda_1 = 6000 \, \text{\AA]} \therefore \lambda_2 = 3000 \, \text{\AA} Ans. (B) ব্যাখ্যা: আমরা জানি, x = \frac{nAD}{a} \Rightarrow x = \frac{nD}{a} \lambda \implies x \propto \lambda \, \ldots \text{(i)} \, \text{[নির্দিষ্ট পরীক্ষণে} \, \frac{nD}{a} \, \text{স্থিতিশীল]} আবার, xN = \text{মোট প্রশ্ন} \, \text{[} x = \text{একটা প্রশ্ন}, \, N = \text{প্রশ্ন সংখ্যা]} \Rightarrow x = \text{মোট প্রশ্ন} \times \frac{1}{N} \implies x \propto \frac{1}{N} \, \ldots \text{(ii)} \, \text{[মোট প্রশ্ন স্থির]} (i) \, \text{ও} \, (ii) \, \text{থেকে,} \lambda \propto \frac{1}{N} \therefore \lambda_1 = K \frac{1}{N_1} \, \ldots \text{(iii)}; \, \lambda_2 = K \frac{1}{N_2} \, \ldots \text{(iv)} (iii) \, \text{ও} \, (iv) \, \text{থেকে,} \, \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{N_2}{N_1} \therefore N_1 \lambda_1 = N_2 \lambda_2

Hints: F = qvB \sin \theta Solve: F = q (\vec{v} \times \vec{B}) = 1.6 \times 10^{-19} \times \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ \end{vmatrix} \times 10^6 = 1.6 \times 10^{-19} \times \big(6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}\big) \times 10^6 = 1.6 \times 10^{-19} \times \sqrt{(6)^2 + (-3)^2 + (2)^2} \times 10^6 = 1.6 \times 10^{-19} \times 7 \times 10^6 = 1.12 \times 10^{-12} \, \text{N} Ans. (C) ব্যাখ্যা: সূত্রানুসারে, কোনো চৌম্বক ক্ষেত্রে একটি চার্জকে একটি বেগে চৌম্বক ক্ষেত্রের সাথে \(\theta\) কোণে গতিশীল করলে চার্জটি চৌম্বক ক্ষেত্রে দ্বারা যে বল অনুভব করে তাই এই চৌম্বক ক্ষেত্রের মান। \[ B = \frac{F}{qv\sin\theta} \implies F = qvB\sin\theta; \text{তত্ত্বের ভিত্তিতে, } F = q (\vec{v} \times \vec{B}) \] \[ \theta = 0^\circ \, \text{বা} \, 180^\circ \, \text{হলে,} \, F = 0 \, \text{[এই অবস্থায় চার্জটি কোনো বল অনুভব করবে না]} \] \[ \theta = 90^\circ \, \text{হলে} \, F = qvB \, \text{[এই অবস্থায় সর্বাধিক বল লাভ করবে]} \]

Hints: \frac{1}{f} = (\mu - 1) \left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right) Solve: \frac{1}{f_g} = (\mu_g - 1) \left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right) বা, \frac{1}{30} = (1.5 - 1) \left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right) [f_g = 30 \, \text{cm}, \mu_g = 1.5] \therefore \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} = \frac{1}{15} আবার, \frac{1}{f_d} = (\mu_d - 1) \left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right) = (2.5 - 1) \times \frac{1}{15} = \frac{1}{10} \, [f_d = 10 \, \text{cm}] Ans. (A) ব্যাখ্যা: লেন্স প্রস্ত্তকারক সূত্র থেকে আমরা জানি, \[ \frac{1}{f} = (\mu - 1) \left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right) \] যখন আলোকরশ্মি ঘন মাধ্যম থেকে লেন্সে প্রবেশ করে, দর্শনের ক্ষেত্রে ফোকাস বড়ত্ব ব্যাসার্ধের অর্ধেক অর্থাৎ \( f = \frac{r}{2} \, \text{(সূত্র উত্তোলনের পর)} \] লেন্সের ক্ষেত্রে, \(\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right) \, \text{সূত্র দ্বারা ফোকাস নির্ধারণ করা হয়।} এর কারণ ফোকাস বলতে বোঝায় সমান্তরাল আলোকরশ্মি গুলো প্রধান অক্ষের সমান্তরাল অথবা আনত ভাবে আপতিত হয়ে ফোকাস তলে যে বিন্দুতে মিলিত হয় অথবা সে বিন্দু হতে ছড়িয়ে পড়েছে বলে মনে হয় তা বিন্দু। আর আলোকরশ্মি গুলো কোনো বিন্দুতে মিলিত হওয়ার ক্ষেত্রে লেন্স প্রতিসরণের সময় যেই পরিবর্তন করে। এই দিক পরিবর্তন লেন্সের কি কি ধরণের উপর নির্ভর করে? নিঃসন্দেহে, প্রথমত \(\mu\) এর উপর নির্ভর করে। কেননা \(\mu\) বেশি মানে প্রতিসারকের ক্ষমতা বেশি। আর আমরা আগে জানি, প্রতিসারকের বেশি হলে আলো অভিলেখের সাথে কি কোনো দিক পরিবর্তন করে। সেক্ষেত্রে লেন্সের কাছাকাছি আলোকরশ্মি গুলো মিলিত হয়। \(\mu\) এর মান কম হলে বিপরীত ঘটনা ঘটে অর্থাৎ দূরে মিলিত হবে। আর ব্যাসার্ধ পরিবর্তনে লেন্সের ফোকাস দূরত্বও পরিবর্তন হবে।

Hints: ট্রান্সফরমার AC কারেন্টে কাজ করে। Solve: প্রশ্নে 6V DC প্রয়োগ করায় সেকেন্ডারী কয়েলে কোনো ভোল্টেজ পাওয়া যাবে না। Ans. (A) ব্যাখ্যা: ট্রান্সফরমারের প্রাইমারি কয়েলে দিক পরিবর্তী (AC) প্রবাহের ফলে প্রাইমারি কয়েলে সৃষ্ট চৌম্বক ক্ষেত্র পরিবর্তীত হয়। প্রাইমারি কয়েলে চৌম্বক ক্ষেত্রের এ পরিবর্তনের ফলে সেকেন্ডারী কয়েলে তড়িৎচালক বল আবিষ্ট হয়। কিন্তু প্রাইমারি কয়েলে DC প্রবাহের ফলে প্রাইমারি কয়েলের সৃষ্ট চৌম্বক ক্ষেত্রের কোনো পরিবর্তন হয় না বলে সেকেন্ডারী কয়েলে কোনো তড়িৎচালক বল আবিষ্ট হয় না। তাই সেকেন্ডারী কয়েলে প্রাপ্ত ভোল্টেজ শূন্য।

Hints: একই মাধ্যমে আলো দিক পরিবর্তন করে না। Solve: একই মাধ্যমে আলো সরল পথে চলে। একসঙ্গে যেখেতু আপতিত আলো প্রতিসরণের পর পূর্বের মাধ্যমেই ফিরে আসে তাই প্রতিসারক যতই হোক প্রতিসরণের সময় একই কোণে প্রতিসৃত হবে অর্থাৎ আলোক রশ্মি \(15^\circ\) কোণে প্রতিসৃত হবে। Ans. (D) ব্যাখ্যা: আলো মাধ্যম পরিবর্তনের সময় মাধ্যমের বিভেদ তলে তীর্যক ভাবে আপতিত হলে অভিলম্বের সাথে দিক পরিবর্তন করে প্রতিসৃত হয়। তবে পরপর সমান্তরাল একাধিক মাধ্যমের মধ্যে দিয়ে প্রতিসরণের সময় ১ম মাধ্যম ও শেষ মাধ্যম একক থাকলে আলোক রশ্মি আপতন কোণের সমান কোণে প্রতিসৃত হবে। অর্থাৎ মাধ্যম যতগুলোই হোক এবং মাধ্যম গুলোর প্রতিসারক যতই হোক মোট প্রতিসারক হবে ১। \(\mu_a \times b \mu_c \times \mu_a = 1\) সদৃশ করে বললে, বাহ্যিক আলোক রশ্মি গমনের সময় সরল পথে চলে। আলোক রশ্মির গতিপথে অন্য কোনো মাধ্যম থাকলে ঐ সকল মাধ্যমে আলোক রশ্মির গতিপথ পরিবর্তন হলেও প্রতিসরণের সময় শেষ মাধ্যম একক হলে একই কোণে প্রতিসরণ হবে।

\(\text{Solve: এখানে, সরণ } \vec{r} = (6 - 2)\hat{i} + (8 - \alpha)\hat{j} + (3\alpha - 4)\hat{k} \\ \implies কাজ \, W = \vec{F} \cdot \vec{r} \\ = (\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot [4\hat{i} + (8 - \alpha)\hat{j} + (3\alpha - 4)\hat{k}] \\ = 4a + 2(8-\alpha) + 4(3\alpha-4) \\ = 4a + 16 - 2\alpha + 12\alpha - 16 \\ = 14a \\ \text{যেহেতু } 14a = 42 \implies a = 3 \\ \text{Ans. (C)}\)

প্রশ্ন বিশ্লেষণ: এখানে \( \sin\left( 2 \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \right) \) নির্ণয় করতে বলা হয়েছে। এই সমস্যায়, প্রথমে \( \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \) বের করতে হবে, যা হবে \( \frac{\pi}{6} \)। তারপর, \( 2 \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \) হবে। সুতরাং \( \sin\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)। সঠিক উত্তর অপশন E। অপশন বিশ্লেষণ: A. 1: ভুল, এই সমীকরণ সঠিক নয়। B. 2: ভুল, এই সমীকরণ সঠিক নয়। C. \( \sqrt{3} \): ভুল, সঠিক নয়। D. \( \frac{\sqrt{5}}{2} \): ভুল, সঠিক নয়। E. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \): সঠিক, এটি সঠিক উত্তর। নোট: এই সমস্যায়, ইনভার্স সাইন ফাংশন এবং সাইন ফাংশন ব্যবহার করা হয়েছে, যার মাধ্যমে সঠিক উত্তর বের করা হয়েছে।

\(\text{Solve: স্প্রিং এর ক্ষেত্রে, } F = kx \implies k = \frac{mg}{x} \, [F = mg] \\ \implies k = \frac{1 \times 9.8}{0.1} = 98 \, \text{Nm}^{-1} \\ \text{স্প্রিং এর ক্ষেত্রে কাজ, } W = \frac{1}{2}kx^2 \implies mgh = \frac{1}{2}kx^2 \\ \implies x = \sqrt{\frac{2mgh}{k}} = \sqrt{\frac{2 \times 5 \times 9.8 \times 1}{98}} \\ \implies x = 1 \, \text{m} \\ \text{Ans. (B)}\)

প্রশ্ন বিশ্লেষণ: এখানে \( y = mx + c \) সরলরেখাটি \( y^2 = 4x \) পরাবৃত্তকে শুধুমাত্র একটি বিন্দুতে ছেদ করে এমন শর্ত দেয়া হয়েছে। এই সমস্যায়, সরলরেখা ও পরাবৃত্তের সমীকরণ সমাধান করতে হবে। সেক্ষেত্রে, \( y = mx + c \) সরলরেখা সমীকরণের সাথে \( y^2 = 4x \) পরাবৃত্তের একযোগী সমীকরণ ব্যবহার করা হলে \( m = 0 \) হবে। অপশন বিশ্লেষণ: A. \( 0 \): সঠিক, এটি সঠিক উত্তর। B. 1: ভুল, সঠিক নয়। C. 2: ভুল, সঠিক নয়। D. 4: ভুল, সঠিক নয়। E. \( \frac{1}{4} \): ভুল, সঠিক নয়। নোট: সমীকরণের মাধ্যমে সরলরেখা ও পরাবৃত্তের শুধুমাত্র একটি বিন্দুতে ছেদের জন্য সঠিক শর্ত অনুযায়ী \( m = 0 \) প্রমাণিত হয়েছে।

\(\text{Hints: } \frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1} \\ \text{Solve: } \frac{P_2}{P_1} = \frac{373}{303} \implies \frac{P_2}{P_1} = 1.23 \implies \frac{P_2}{P_1} = (1 + 0.23) \\ \implies P_2 = P_1 + 0.23P_1 \implies P_2 = P_1 + \frac{23}{100}P_1 \\ \therefore P_2 = P_1 + 23\%P_1 \\ \text{Ans. (B)}\)

প্রশ্ন বিশ্লেষণ: এখানে \( x = \frac{1}{2}\left( -1 + \sqrt{-3} \right) \) ও \( y = \frac{1}{2}\left( -1 - \sqrt{-3} \right) \) দেয়া হয়েছে এবং \( x \) ও \( y \) এর মধ্যে সম্পর্ক বের করতে বলা হয়েছে। এখানে, আমরা দেখতে পাবো যে \( x \) ও \( y \) কিউবের রূপে সম্পর্কিত। অপশন বিশ্লেষণ: A. \( x = y^3 \): ভুল, এটি সঠিক নয়। B. \( x^3 = y \): ভুল, এটি সঠিক নয়। C. \( x + y^2 = 1 \): ভুল, এটি সঠিক নয়। D. \( x^2 = y \): সঠিক, এটি সঠিক উত্তর। E. \( xy + 1 = 0 \): ভুল, এটি সঠিক নয়। নোট: এখানে কিউবিক সম্পর্কের মাধ্যমে সঠিক উত্তর বের করা হয়েছে, যেখানে \( x^2 = y \)।

\( \text{Hints: } \frac{v_s}{v_r} = \sqrt{\frac{T_s}{T_r}} \) \(\text{Solve: তাপমাত্রা ও ঐ তাপমাত্রায় বাতাসের শব্দের বেগের সম্পর্ক, }\) \[ \frac{v_s}{v_r} = \sqrt{\frac{T_s}{T_r}} \implies \frac{v_s^2}{v_r^2} = \frac{T_s}{T_r} \implies T_r = \frac{v_r^2}{v_s^2} \times T_s \] \[ T_r = \frac{(333)^2}{(330)^2} \times 283 = 288.2K \implies T_r = 15.2^\circ C \] \(\text{Ans. (D)}\)

প্রশ্ন বিশ্লেষণ: এখানে \( (2x^2 - 3x^3)^9 \) এর বিস্তৃতিতে x বর্জিত পদ বের করতে বলা হয়েছে। এই সমস্যায়, বাইনোমিয়াল থিওরেম ব্যবহার করতে হবে এবং এর একক পদ বের করতে হবে। অপশন বিশ্লেষণ: A. 1: ভুল, সঠিক নয়। B. \( 9C_6 2^3 3^6 \): ভুল, সঠিক নয়। C. \( 9C_5 2^4 3^5 \): ভুল, সঠিক নয়। D. \( 9C_4 2^5 3^4 \): ভুল, সঠিক নয়। E. বিদ্যমান নয়: সঠিক, এই পদটি এককভাবে বিদ্যমান নয়। নোট: এখানে বাইনোমিয়াল থিওরেমের মাধ্যমে একক পদ না থাকার কারণে সঠিক উত্তর বিদ্যমান নয়।

পাশের সরণ-সময় লেখচিত্রে কোথায় বল প্রয়োগ করা হয়েছে?

\( \text{Hints: স্থির বস্তুকে গতিশীল অথবা গতিশীল বস্তুকে স্থির করতে বল প্রয়োগ করতে হয়।} \) \(\text{Solve: } t_1 \text{ হতে } t_2 \text{ পর্যন্ত ???রণ হচ্ছে না অর্থাৎ এই অংশে বল প্রয়োগ করা হচ্ছে।}\) \(\text{Ans. (B)}\)