\(\text{এক চতুর্থাংশ উচ্চতায় বিভবশক্তি } \frac{500}{4} = 125\) \(\therefore \text{গতিশক্তি, } E_k = (500 - 125) = 375 \, \mathrm{J}\)

\(T^2 = 4\pi^2 \times \frac{L}{g} \implies 4 = 4\pi^2 \times \frac{L}{\pi} \implies L = \frac{1}{\pi} \, \mathrm{m}\)

\(y = A \sin(kx + \omega t)\) \(\implies A \sin \left(\frac{2\pi}{\lambda} x + \frac{2\pi v}{\lambda} t\right) = A \sin \frac{2\pi}{\lambda} (x + vt);\) \(\text{উক্ত সমীকরণটি } X-\text{অক্ষের ঋণাত্মক দিক বরাবর অগ্রগামী তরঙ্গের সমীকরণ।}\) \(\therefore y = A \sin \frac{2\pi}{\lambda} (vt - x);\) \(\text{উক্ত সমীকরণটি } X-\text{অক্ষের ধনাত্মক দিক বরাবর অগ্রগামী তরঙ্গের সমীকরণ।}\)

\(v_c = \sqrt{2gR} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 8 \times 1.28 \times 10^7} = 44800 \, \mathrm{ms^{-1}} = 44.8 \, \mathrm{kms^{-1}}\)

\(T = \frac{h \rho g r}{2} = \frac{15 \times 10^{-2} \times 1.2 \times 10^3 \times 9.8 \times 0.1 \times 10^{-3}}{2} = 8.8 \times 10^{-2} \, \mathrm{N/m}\)

\(A = 4\pi^2\) \(\therefore \frac{\Delta v}{v} = 3 \frac{\Delta r}{r} = 3 \times \frac{0.1}{5} = 0.06 = 6\%\)

\(\vec{r} = t\hat{i} + (t^2 + 1)\hat{j} + 2t\hat{k}\) \(\implies \frac{d\vec{r}}{dt} = 2t\hat{i} + 2t\hat{j} + 2\hat{k}\) \(\implies \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = 2\hat{i} + 2\hat{j}\) \(\therefore |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}\) \(\text{Ans. (B)}\)

\(\nabla \cdot (\nabla \times \vec{A})\) রাশিটিতে ভেক্টর \(\vec{A}\) কে দুইবার ব্যবকলন করা হয়েছে। \(\therefore m^{-2}\) এর ঘাত হারিয়ে \(m^{-4}\) হবে। \(\text{Ans. (A)}\)

\(L = r p \sin \theta\) \(\implies \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\) \(\tau = r F \sin \theta \implies \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}\) \(\text{Ans. (B)}\)

\(\text{Solve: } k = 1 \, \text{N/m} \\ x = 0.1 \, \text{m} \\ \therefore E_p = \frac{1}{2} \times 1 \times (0.1)^2 = 5 \times 10^{-3} \\ \text{Ans. (D)}\)