Explanation: উচ্চতা \( h = R \) হলে গতিশক্তি থেকে গতিবেগ নির্ধারণ \( v = \sqrt{2gR} = 4\sqrt{2} \, \text{km/s} \)। সুতরাং সঠিক উত্তর B। নোট: গ্র্যাভিটেশনাল পোটেনশিয়াল এনার্জি থেকে বস্তুর গতিবেগ নির্ধারণ করা হয়।

Another Explanation (5): ```html

পৃথিবীর ব্যাসার্ধের সমান উচ্চতা থেকে পড়ন্ত বস্তুর গতিবেগ নির্ণয়

প্রশ্ন

পৃথিবীর ব্যাসার্ধের সমান উচ্চতা থেকে পড়ন্ত বস্তুর গতিবেগ কত?

সমাধান

ধরি, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(R\) এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\)। বস্তুটি \(h = R\) উচ্চতা থেকে পড়ছে।

বস্তুটি যখন \(h\) উচ্চতায় ছিল, তখন পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে দূরত্ব ছিল \(R + h = R + R = 2R\)।

মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি (Gravitational potential energy):

\(U = -\frac{GMm}{r}\), যেখানে \(G\) মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, \(M\) পৃথিবীর ভর, \(m\) বস্তুর ভর এবং \(r\) দূরত্ব।

সুতরাং, \(h\) উচ্চতায় বিভব শক্তি, \(U_1 = -\frac{GMm}{2R}\) এবং ভূপৃষ্ঠে বিভব শক্তি, \(U_2 = -\frac{GMm}{R}\)।

বিভব শক্তির পরিবর্তন \(\Delta U = U_2 - U_1 = -\frac{GMm}{R} - \left(-\frac{GMm}{2R}\right) = -\frac{GMm}{R} + \frac{GMm}{2R} = -\frac{GMm}{2R}\)।

এই বিভব শক্তির পরিবর্তন গতিশক্তিতে রূপান্তরিত হবে। সুতরাং, গতিশক্তি \(K = - \Delta U = \frac{GMm}{2R}\)।

গতিশক্তি \(K = \frac{1}{2}mv^2\)। সুতরাং, \(\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2R}\)।

\(v^2 = \frac{GM}{R}\)। আমরা জানি, \(g = \frac{GM}{R^2}\), সুতরাং \(GM = gR^2\)।

অতএব, \(v^2 = \frac{gR^2}{R} = gR\)। সুতরাং, \(v = \sqrt{gR}\)।

আমরা জানি, \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\) এবং \(R = 6400 \, \text{km} = 6.4 \times 10^6 \, \text{m}\)।

সুতরাং, \(v = \sqrt{9.8 \times 6.4 \times 10^6} = \sqrt{62.72 \times 10^6} \approx 7919 \, \text{m/s} \approx 7.919 \, \text{km/s}\)।

কিন্তু সঠিক উত্তর \( 4\sqrt{2} \, \text{km/s} \approx 5.65 \, \text{km/s}\) 🤔দেয়া আছে। এর কারণ হল হিসাবের গন্ডগোল। ফের দেখা যাক।

\(h\) উচ্চতায় মোট শক্তি = \(KE + PE\) = 0 + \(-GMm/2R\) = \(-GMm/2R\)

পৃথিবীর পৃষ্ঠে মোট শক্তি = \(1/2 mv^2 - GMm/R\)

শক্তির সংরক্ষণ নীতি অনুসারে,

\(1/2 mv^2 - GMm/R = -GMm/2R\)

\(1/2 v^2 = GM/R - GM/2R = GM/2R\)

\(v^2 = GM/R\)

আমরা জানি \(g = GM/R^2\), সুতরাং \(GM = gR^2\)

অতএব, \(v^2 = gR^2/R = gR\)

\(v = \sqrt{gR}\)

কিন্তু এখানে একটি ভুল আছে। উচ্চতা থেকে পড়ার সময় অভিকর্ষজ ত্বরণ ধ্রুবক থাকেনা।

সঠিক উপায় হল শক্তির সংরক্ষণ সূত্র ব্যবহার করা:

\(-\frac{GMm}{2R} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}\)

\(\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{2R}\)

\(v^2 = \frac{GM}{R}\)

\(v = \sqrt{\frac{GM}{R}}\)

\(g = \frac{GM}{R^2}\) => \(GM = gR^2\)

\(v = \sqrt{\frac{gR^2}{R}} = \sqrt{gR}\)

\(v = \sqrt{9.8 \times 6400000} = \sqrt{62720000} \approx 7920 ms^{-1} = 7.92 kms^{-1}\) 😥

আবারও ভুল হচ্ছে। 🤔 চলো অন্যভাবে চেষ্টা করি।

বস্তুটি যখন r দূরত্বে, তখন তার ত্বরণ \(a = \frac{GM}{r^2}\)

সুতরাং, \(v dv = a dr\)

\(\int_{0}^{v} v dv = \int_{2R}^{R} \frac{GM}{r^2} dr\)

\(\frac{v^2}{2} = GM [-\frac{1}{r}]_{2R}^{R} = GM (-\frac{1}{R} + \frac{1}{2R}) = GM (\frac{-2+1}{2R}) = -\frac{GM}{2R}\)

এখানে একটা মাইনাস সাইন আসছে, যা হওয়া উচিত না। 🤔

চূড়ান্ত সমাধান:

শক্তির সংরক্ষণ নীতি অনুসারে:

\(E_i = E_f\)

প্রাথমিক শক্তি (যখন উচ্চতা R): \(E_i = -\frac{GMm}{2R}\)

চূড়ান্ত শক্তি (পৃথিবীর পৃষ্ঠে): \(E_f = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}\)

অতএব, \(-\frac{GMm}{2R} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}\)

\(\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{2R}\)

\(v^2 = \frac{GM}{R}\)

আমরা জানি, \(g = \frac{GM}{R^2}\), সুতরাং \(GM = gR^2\)

অতএব, \(v^2 = \frac{gR^2}{R} = gR\)

\(v = \sqrt{gR}\)

এখন, প্রশ্নে একটু অন্যরকম উত্তর দেওয়া আছে। যদি আমরা \(g = 10 \, m/s^2\) ধরি, তাহলে:

\(v = \sqrt{10 \times 6400000} = \sqrt{64000000} = 8000 \, m/s = 8 \, km/s\)

আসল উত্তর: \(v = \sqrt{gR} = \sqrt{10 \times 6400000} = 8000 \, m/s\)

প্রদত্ত উত্তর \(4\sqrt{2}\) km/s = \(4 \times 1.414\) km/s = \(5.656\) km/s. আসলে, সঠিক উত্তর \(v = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{gR}\)। এখন, \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\) এবং \(R = 6400 \, \text{km}\) হলে, \(v = \sqrt{9.8 \times 6400000} = \sqrt{62720000} \approx 7920 \, \text{m/s} \approx 7.92 \, \text{km/s}\). সুতরাং, দেওয়া উত্তরটি ভুল। সঠিক উত্তর হল প্রায় \(7.92\) কিমি/সেকেন্ড। 😅

```