একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা 160m, দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত হলে ইহার ক্ষেত্রফল বৃহত্তম হবে?

Explanation: Hints: গৃহসমান/লঘুমানের ক্ষেত্রফল বের করার কনসেপ্ট থেকে বৃহত্তম ক্ষেত্রফল বের করতে পারবে। Solve: ধরি, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য \(x\) এবং প্রস্থ \(y\) অতএব, পরিসীমা, \(2(x+y) = 160 \Rightarrow x + y = 80 \Rightarrow y = (80 - x)\) এখন, ক্ষেত্রফল, \(f(x) = xy = x(80 - x) = 80x - x^2\) ক্ষেত্রফল \(f(x)\) বৃহত্তম হলে হবে \(f'(x) = 0\) থেকে প্রাপ্ত \(x\) এর মানের জন্য \(f''(x) = \text{ঋণাত্মক} হতে হবে। \(f'(x) = 80 - 2x = 0 \Rightarrow x = 40\) \(f''(x) = -2\), যা ঋণাত্মক অতএব, ক্ষেত্রফল বৃহত্তম হলে দৈর্ঘ্য হবে, \(x = 40\text{m}\) প্রস্থ, \(y = 80 - 40 = 40\text{m}\) Ans. (A) ব্যাখ্যা: গৃহমান কিংবা লঘুমানের অংশগুলো আমরা যেভাবে করি এ প্রশ্নটিও ক্ষেত্রেও একই Method Follow করা হয়েছে। দৈর্ঘ্য ও প্রস্থকে প্রথমে পরিসীমার সূত্র থেকে \(x\) ও \(y\) কে এক চলকে অর্থাৎ \(y = (80 - x)\) আকারে প্রকাশ করা হয়েছে। যে কারণে \(y\) এর Value পাওয়া গেছে \((80 - x)\)। এরপর ক্ষেত্রফলেরও \(x\) এর ফাংশন রূপ দেওয়া হয়েছে। সর্বোচ্চে একটি চলকে আনার পর ক্ষেত্রফলের ফাংশনালিটিকে \((f(x))\) একবার অন্তরীকরণ ও দ্বিতীয় অন্তরীকরণ করার পর দেখা যাচ্ছে \(f''(x)\) সরাসরি ঋণাত্মক এসেছে। অর্থাৎ, \(f'(x)\) থেকে প্রাপ্ত মান না বসিয়েই জানা গেলো, এ মানের জন্য \(f(x)\) ফাংশনটি গুরুত্ববান বিদ্যমান। অর্থাৎ \(x\) এর এ মানের জন্য আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল বৃহত্তম হবে। সুতরাং, \(x\) এর এ মান অর্থাৎ \(40\text{m}\) হচ্ছে আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য, আর \(y = 80 - x = 80 - 40 = 40\text{m}\) হচ্ছে আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ। মূলত আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল তখনই সর্বো??্চ হবে যখন আয়তটি একটি বর্গক্ষেত্রে পরিণত হবে। এক্ষেত্রে তাই দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ উভয়ই \(40\text{m}\) করে হয়েছে। By Technique: Option (A) তে \(40 \times 40 = 1600 \, \text{m}^2\) (B) তে \(50 \times 30 = 1500 \, \text{m}^2\)

Another Explanation (5): ```html

আয়তক্ষেত্রের বৃহত্তম ক্ষেত্রফল নির্ণয় 📏

ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য \(x\) এবং প্রস্থ \(y\)।

পরিসীমা \(P = 2(x + y)\)। দেওয়া আছে, \(P = 160\) মিটার। সুতরাং, \(2(x + y) = 160\), বা, \(x + y = 80\)। অতএব, \(y = 80 - x\) 🤔।

ক্ষেত্রফল \(A = x \cdot y = x(80 - x) = 80x - x^2\) 🧐।

ক্ষেত্রফলকে বৃহত্তম করতে, \(\frac{dA}{dx} = 0\) হতে হবে।

\(\frac{dA}{dx} = 80 - 2x\)

সুতরাং, \(80 - 2x = 0\), বা, \(2x = 80\), বা, \(x = 40\) 🤩।

এখন, \(\frac{d^2A}{dx^2} = -2\), যা ঋণাত্মক। সুতরাং, \(x = 40\) এর জন্য ক্ষেত্রফল বৃহত্তম হবে 😎।

অতএব, \(y = 80 - x = 80 - 40 = 40\) 😲।

সুতরাং, দৈর্ঘ্য \(40\) মিটার এবং প্রস্থ \(40\) মিটার হলে ক্ষেত্রফল বৃহত্তম হবে। অর্থাৎ, এটি একটি বর্গক্ষেত্র হবে 🎉।

```