-2-2i এর মূখ্য আর্গুমেন্ট কত? 

প্রশ্ন: \(-2 - 2i\) এর মূখ্য আর্গুমেন্ট কত?

প্রথমে, আমাদের কম্প্লেক্স সংখ্যা:

\(z = -2 - 2i\)

প্রথম ধাপ: এই সংখ্যাটির মূলাঙ্কের (অ্যাঙ্গেল) জন্য, আমরা \(\theta = \arg(z)\) নির্ণয় করব।

দ্বিতীয় ধাপ: \(\arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{\text{ইমেজিনারি অংশ}}{\text{রিয়াল অংশ}}\right)\)

তাই,

\( \theta = \tan^{-1}\left(\frac{-2}{-2}\right) = \tan^{-1}(1) \)

যাহোক, কারণ রিয়াল অংশ \(-2\) ও ইমেজিনারি অংশ \(-2\), তবে এই পজিশনে সংখ্যাটি চতুর্থ কোঅর্ডিনেটের (তৃতীয় কোঅর্ডিনেটের) কোঅর্ডিনেটের মধ্যে রয়েছে, যেখানে রিয়াল ও ইমেজিনারি উভয়ই নেতিবাচক।

তাই, মূলাঙ্কের মান নির্ণয় করার জন্য, আমরা \(\tan^{-1}(1)\) এর মান গ্রহণ করব, কিন্তু আমাদের মনে রাখতে হবে যে সংখ্যাটি ত্রয়োদশ কোঅর্ডিনেটে রয়েছে, যেখানে আর্গুমেন্টের মান \(\pi\) থেকে \(-\pi\) এর মধ্যে হতে হবে।

সাধারণত, \(\tan^{-1}(1) = \pi/4\)

কিন্তু যেহেতু রিয়াল ও ইমেজিনারি উভয়ই নেতিবাচক, তাই আর্গুমেন্ট হবে তৃতীয় কোঅর্ডিনেটের কোঅর্ডিনেটের জন্য।

এখন, আমরা জানি যে, যখন সংখ্যাটির রিয়াল ও ইমেজিনারি উভয়ই নেতিবাচক, তখন আর্গুমেন্ট হয়: \(\pi + \theta\)

অর্থাৎ,

\( \arg(z) = \pi + \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \)

তবে, সাধারণত আর্গুমেন্টের মান নেতিবাচক দিকেও নেওয়া হয়, অর্থাৎ, \(-\pi < \arg(z) \leq \pi\)।

এখানে, আর্গুমেন্ট \(-\frac{3\pi}{4}\) এই মানই উপযুক্ত।

অতএব,

উত্তর: \(-\frac{3\pi}{4}\)