omega^n+omega^(n+1)+omega^(n+2) এর মান কত? [যেখানে n পূর্ণসংখ্যা]

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্ন অনুযায়ী, আমাদের প্রদান করা হয়েছে: \[ \omega^n + \omega^{n+1} + \omega^{n+2} \] এখানে, \(\omega\) একটি মূলতঃ \( \omega^3 = 1 \) এর সমাধান, অর্থাৎ, \(\omega\) হল ত্রিগুণ মূল (cube root of unity), যার মূল বৈশিষ্ট্য: \[ \omega^3 = 1 \] \[ 1 + \omega + \omega^2 = 0 \] \[ \omega^2 = -1 - \omega \] এখন, প্রথমে দেখি: \[ \omega^{n+1} = \omega^n \cdot \omega \] \[ \omega^{n+2} = \omega^n \cdot \omega^2 \] তাহলে, \[ \omega^n + \omega^{n+1} + \omega^{n+2} = \omega^n + \omega^n \cdot \omega + \omega^n \cdot \omega^2 = \omega^n (1 + \omega + \omega^2) \] আমাদের জানা আছে: \[ 1 + \omega + \omega^2 = 0 \] অতএব, \[ \omega^n (1 + \omega + \omega^2) = \omega^n \times 0 = 0 \] এই জন্য, যেকোন পূর্ণসংখ্যা \( n \) এর জন্য, \[ \boxed{0} \] **উত্তর: 0**