cotcos^-1​sintan^-1​x=?​​​​​​

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\cot^{-1}(\sin^{-1} x)\) উত্তর: \(x\) সমাধান: আমরা দিতে চাচ্ছি \(\cot^{-1}(\sin^{-1} x)\) এর মান। ধরা যাক, \[ \theta = \sin^{-1} x \] অর্থাৎ, \[ x = \sin \theta \] এবং, যেহেতু \(\sin^{-1} x\) এর আউটপুট \(\theta\) এর সীমা হলো \(-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\)। এখন, আমাদের লক্ষ্য হলো: \[ \cot^{-1} (\sin^{-1} x) = \cot^{-1} (\theta) \] অর্থাৎ, \[ \cot^{-1} (\theta) \] এখানে \(\theta = \sin^{-1} x\), যেখানে \(x\) এর মান \([-1, 1]\)। আমরা জানি, \[ \cot^{-1} y + \tan^{-1} y = \frac{\pi}{2} \] এবং, \(\cot^{-1} y = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} y\) তাই, \[ \cot^{-1} (\theta) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} (\theta) \] যেখানে \(\theta = \sin^{-1} x\)। অতএব, \[ \cot^{-1} (\sin^{-1} x) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} (\sin^{-1} x) \] এখন, \(\tan^{-1} (\sin^{-1} x)\) এর মান আমরা নির্ণয় করব। ধরা যাক, \[ \alpha = \sin^{-1} x \] অর্থাৎ, \[ x = \sin \alpha \] এবং, \(\alpha\) এর মান \(-\frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}\) এবং, \[ \theta = \alpha \] তাহলে, \[ \cot^{-1} (\alpha) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} (\alpha) \] আমরা লক্ষ্য করছি, \(\tan^{-1} (\sin^{-1} x)\) এর মান \(\alpha\) এর জন্য। এখন, \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) যেখানে \(\sin \alpha = x\), তাহলে, \[ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - x^2} \] অতএব, \[ \tan \alpha = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \] এবং, \[ \boxed{ \cot^{-1} (\sin^{-1} x) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \right) } \] এখানে লক্ষ্যনীয় যে, এই মান \(x\) এর জন্য যথাযথ এবং মূল সীমার মধ্যে। অতএব, মূল প্রশ্নের উত্তর হলো: \[ \boxed{ x } \]