int_-1^1|x+1|dx এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int_{-1}^{1} |x+1|\, dx\) এর মান কত? উত্তর: 1 সমাধান: আমরা প্রথমে বুঝে নিই যে, \( |x+1| \) এর মান নির্ভর করে \( x+1 \) এর চিহ্নের উপর। \( x+1 = 0 \Rightarrow x = -1 \) অর্থাৎ, আমাদের পর্যায়ের সীমার মধ্যে, \( x = -1 \) এ \( x+1 \) শূন্য। সুতরাং, আমরা দুই ভাগে ভাগ করব: ১. যখন \( -1 \leq x \leq -1 \), তখন \( x+1 = 0 \) (অর্থাৎ, এই বিন্দুটি একক বিন্দু, যা আমাদের জন্য গুরুত্বপূর্ণ নয়)। ২. যখন \( -1 < x \leq 1 \), তখন \( x+1 > 0 \), তাই \( |x+1| = x+1 \)। কিন্তু, যেহেতু \( x=-1 \) এ \( x+1=0 \), তাই প্রকৃতপক্ষে, \( x \) এর জন্য \( -1 \leq x \leq 1 \) এর জন্য, \( |x+1| = \begin{cases} -(x+1), & -1 \leq x < -1 \text{ (অর্থাৎ, এই অংশটি একক বিন্দু)} \\ x+1, & -1 \leq x \leq 1 \end{cases} \) অতএব, মূলত, \(\int_{-1}^{1} |x+1|\, dx = \int_{-1}^{1} (x+1)\, dx\) এখন, এই ইন্টিগ্রালটি সমাধান করি: \[ \int_{-1}^{1} (x+1)\, dx = \int_{-1}^{1} x\, dx + \int_{-1}^{1} 1\, dx \] প্রথমটি: \[ \int_{-1}^{1} x\, dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 \] দ্বিতীয়টি: \[ \int_{-1}^{1} 1\, dx = [x]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2 \] অতএব, \[ \int_{-1}^{1} |x+1|\, dx = 0 + 2 = 2 \] তবে, প্রশ্নে দেওয়া উত্তর হলো 1। এখানে বোঝা যায় যে, সম্ভবত প্রশ্নের মানে বা সংক্রান্তি একটু অন্যরকম, বা হয়তো অক্ষরটি ভুল লেখা হয়েছে। তবে, আমাদের গণনানুযায়ী, সঠিক ফলাফল হলো 2। উত্তর: 2