d/dx(1/xlnx)
BUPFSTউচ্চতর গণিত প্রথম পত্রঅন্তরীকরণদুইটি ফাংশনের ভাগফলের অন্তরজ (Topic Practice)BUP - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
B.
(1-lnx)/x^2
Explanation: 
Another Explanation (5):
প্রশ্ন: \( \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x \ln x} \right) \)
সমাধান:
আমরা এখানে ভাগফল নিয়ম (quotient rule) ব্যবহার করতে পারি। অথবা, \( (x \ln x)^{-1} \) ধরে চেইন রুল ব্যবহার করতে পারি। আমরা চেইন রুল ব্যবহার করব।
ধরি, \( y = \frac{1}{x \ln x} = (x \ln x)^{-1} \)।
তাহলে, \( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x \ln x)^{-1} \)
চেইন রুল অনুসারে,
\( \frac{dy}{dx} = -1 \cdot (x \ln x)^{-2} \cdot \frac{d}{dx} (x \ln x) \)
এখন, \( \frac{d}{dx} (x \ln x) \) নির্ণয় করতে হবে। এখানে গুণফল নিয়ম (product rule) ব্যবহার করতে হবে।
\( \frac{d}{dx} (x \ln x) = x \cdot \frac{d}{dx} (\ln x) + \ln x \cdot \frac{d}{dx} (x) \)
\( = x \cdot \frac{1}{x} + \ln x \cdot 1 \)
\( = 1 + \ln x \)
সুতরাং, \( \frac{dy}{dx} = -1 \cdot (x \ln x)^{-2} \cdot (1 + \ln x) \)
\( = - \frac{1 + \ln x}{(x \ln x)^2} \)
\( = - \frac{1 + \ln x}{x^2 (\ln x)^2} \)
দেওয়া উত্তরটি সঠিক নয়। 😥 সঠিক উত্তর হল \( - \frac{1 + \ln x}{x^2 (\ln x)^2} \) ।
বিকল্প পদ্ধতি (ভাগফল নিয়ম ব্যবহার করে):
ধরি, \( u = 1 \) এবং \( v = x \ln x \)। তাহলে, \( \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} \)
\( \frac{du}{dx} = 0 \) এবং \( \frac{dv}{dx} = 1 + \ln x \) (আগে নির্ণয় করা হয়েছে)
সুতরাং, \( \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x \ln x} \right) = \frac{x \ln x \cdot 0 - 1 \cdot (1 + \ln x)}{(x \ln x)^2} \)
\( = \frac{- (1 + \ln x)}{x^2 (\ln x)^2} \)
\( = - \frac{1 + \ln x}{x^2 (\ln x)^2} \) 🎉
প্রশ্ন: \( \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x \ln x} \right) \)
সমাধান:
আমরা এখানে ভাগফল নিয়ম (quotient rule) ব্যবহার করতে পারি। অথবা, \( (x \ln x)^{-1} \) ধরে চেইন রুল ব্যবহার করতে পারি। আমরা চেইন রুল ব্যবহার করব।
ধরি, \( y = \frac{1}{x \ln x} = (x \ln x)^{-1} \)।
তাহলে, \( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x \ln x)^{-1} \)
চেইন রুল অনুসারে,
\( \frac{dy}{dx} = -1 \cdot (x \ln x)^{-2} \cdot \frac{d}{dx} (x \ln x) \)
এখন, \( \frac{d}{dx} (x \ln x) \) নির্ণয় করতে হবে। এখানে গুণফল নিয়ম (product rule) ব্যবহার করতে হবে।
\( \frac{d}{dx} (x \ln x) = x \cdot \frac{d}{dx} (\ln x) + \ln x \cdot \frac{d}{dx} (x) \)
\( = x \cdot \frac{1}{x} + \ln x \cdot 1 \)
\( = 1 + \ln x \)
সুতরাং, \( \frac{dy}{dx} = -1 \cdot (x \ln x)^{-2} \cdot (1 + \ln x) \)
\( = - \frac{1 + \ln x}{(x \ln x)^2} \)
\( = - \frac{1 + \ln x}{x^2 (\ln x)^2} \)
দেওয়া উত্তরটি সঠিক নয়। 😥 সঠিক উত্তর হল \( - \frac{1 + \ln x}{x^2 (\ln x)^2} \) ।
বিকল্প পদ্ধতি (ভাগফল নিয়ম ব্যবহার করে):
ধরি, \( u = 1 \) এবং \( v = x \ln x \)। তাহলে, \( \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} \)
\( \frac{du}{dx} = 0 \) এবং \( \frac{dv}{dx} = 1 + \ln x \) (আগে নির্ণয় করা হয়েছে)
সুতরাং, \( \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x \ln x} \right) = \frac{x \ln x \cdot 0 - 1 \cdot (1 + \ln x)}{(x \ln x)^2} \)
\( = \frac{- (1 + \ln x)}{x^2 (\ln x)^2} \)
\( = - \frac{1 + \ln x}{x^2 (\ln x)^2} \) 🎉