lim_(x->3)(x^3-27)/(x^2-9)  এর মান কোনটি?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্ন: \(\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 27}{x^2 - 9}\) প্রথমে, দেখুন যে যখন \(x = 3\), তখন উভয় উভয় উভয়ই 0 হয়: \[ x^3 - 27 = 3^3 - 27 = 27 - 27 = 0 \] \[ x^2 - 9 = 3^2 - 9 = 9 - 9 = 0 \] অর্থাৎ, এটি একটি অব্যক্ত অনির্দিষ্ট রূপ (0/0), তাই মূলত লিমিটটি সরাসরি হিসাব করা সম্ভব নয়। এখন, সাধারণ ফ্যাক্টরাইজেশন করে উপরের অভিব্যক্তি সরলীকরণ করব। \[ x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9) \] এবং, \[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \] অতএব, অভিব্যক্তিটি হবে: \[ \frac{x^3 - 27}{x^2 - 9} = \frac{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)}{(x - 3)(x + 3)} \] \(x \neq 3\) হলে, \((x - 3)\) কেটে যায়: \[ \frac{x^2 + 3x + 9}{x + 3} \] এখন, লিমিটটি হলো: \[ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 3x + 9}{x + 3} \] অর্থাৎ, সরাসরি \(x = 3\) বসিয়ে মূল্য নির্ণয় করব: \[ \frac{(3)^2 + 3 \times 3 + 9}{3 + 3} = \frac{9 + 9 + 9}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \] অতএব, এই লিমিটের মান হলো:

উত্তর: \(\boxed{\frac{9}{2}}\)