Another Explanation (5):
Solution
প্রশ্নের সমাধান:
প্রদত্ত রেখাটি হলো:
\[
y = 4x + 1
\]
এবং পরাবৃত্তির সমীকরণ হলো:
\[
y^{2} = 8mx
\]
আমরা জানি, রেখাটি যখন পরাবৃত্তিকে স্পর্শ করে, তখন রেখার সাথে পরাবৃত্তির সম্পর্কটি টানজোড়া হয়। অর্থাৎ, রেখা ও পরাবৃত্তির সমীকরণের সমাধান একক হয়।
প্রথমে, রেখাটি থেকে \( y \) এর মান স্থানান্তর করি:
\[
y = 4x + 1
\]
এবং এটি পরাবৃত্তির সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:
\[
(4x + 1)^2 = 8mx
\]
বিন্যাস করি:
\[
(4x + 1)^2 = 8mx
\]
\[
16x^2 + 8x + 1 = 8mx
\]
এখন, সমীকরণটি সাধারণ রূপে লিখি:
\[
16x^2 + 8x + 1 - 8mx = 0
\]
\[
16x^2 + (8 - 8m)x + 1 = 0
\]
এটি একটি দ্বৈতবহুপদী সমাধানসমূহের জন্য, এর ডিটারমিন্যান্ট শর্ত অনুযায়ী, স্পর্শ করার জন্য, ডিটারমিন্যান্ট শর্তটি শূন্য হতে হবে:
\[
\Delta = 0
\]
ডিটারমিন্যান্ট:
\[
\Delta = (8 - 8m)^2 - 4 \times 16 \times 1
\]
\[
= 64(1 - m)^2 - 64
\]
একই রূপে লিখি:
\[
\Delta = 64[(1 - m)^2 - 1]
\]
স্পর্শের জন্য:
\[
\Delta = 0
\]
অর্থাৎ:
\[
(1 - m)^2 - 1 = 0
\]
\[
(1 - m)^2 = 1
\]
\[
1 - m = \pm 1
\]
প্রথম ক্ষেত্রে:
\[
1 - m = 1 \Rightarrow m = 0
\]
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে:
\[
1 - m = -1 \Rightarrow m = 2
\]
তাই, যখন \( m = 0 \) বা \( m = 2 \), রেখাটি পরাবৃত্তিকে স্পর্শ করবে।
উত্তর অনুযায়ী, **m এর মান কত হলে** রেখাটি স্পর্শ করে?
উত্তর: **2**
