∫10 (dx/sqrt(2x-x^2)) =?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্নে দেওয়া ইন্টিগ্রাল: \[ \int_{1}^{0} \frac{dx}{\sqrt{2x - x^2}} \] প্রথমে, ডোমেনের সীমার পরিবর্তন করি যাতে ইন্টিগ্রালটি সঠিক হয়। কারন সাধারণত নিম্ন সীমা ছোট, উচ্চ সীমা বড় হয়। এখানে সীমা 1 থেকে 0, তবে এটি পরিবর্তন করে 0 থেকে 1 নেওয়া যায়, কারণ ইন্টিগ্রালটি অপ্রয়োজনীয়ভাবে উল্টানো হয়েছে। সুতরাং, \[ \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{2x - x^2}} \] প্রথমত, নিচের অভ্যন্তরীণ অংশটিকে সাজাই: \[ 2x - x^2 = -(x^2 - 2x) \] অথবা, \[ 2x - x^2 = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = -( (x - 1)^2 - 1 ) \] অর্থাৎ, \[ \sqrt{2x - x^2} = \sqrt{1 - (x - 1)^2} \] এখন, পরিবর্তন করি: \[ t = x - 1 \Rightarrow x = t + 1 \] যেখানে যখন \(x = 0\), তখন \(t = -1\), এবং যখন \(x = 1\), তখন \(t = 0\). ইন্টিগ্রালটি রূপান্তরিত হবে: \[ \int_{t=-1}^{0} \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} \] অতএব, \[ \int_{-1}^{0} \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} \] এটি একটি মানদণ্ডের ইন্টিগ্রাল যেটি: \[ \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \sin^{-1}(t) + C \] সুতরাং, \[ \left[ \sin^{-1}(t) \right]_{-1}^{0} = \sin^{-1}(0) - \sin^{-1}(-1) \] আমরা জানি: \[ \sin^{-1}(0) = 0 \] \[ \sin^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{2} \] অতএব, \[ 0 - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} \] **অতএব,** \[ \boxed{ \int_{1}^{0} \frac{dx}{\sqrt{2x - x^2}} = \frac{\pi}{2} } \] প্রশ্নের উত্তরের সাথে মিলিয়ে নেওয়া হয়েছে।