lim_(n->∞) (1+1/n)^n= কত ? 

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্ন: \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = ? \]

বিবরণ:

\[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \] এই সীমা গণিতের একটি গুরুত্বপূর্ণ সীমা, যা 'e' সংখ্যার সংজ্ঞা হিসেবে ব্যবহৃত হয়। এখন এটি কেমন করে সমাধান করব, সেটি দেখানো হলো।

সমাধান:

প্রথমে, ধরি: \[ L = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \] এখন, লিমিটের মান নির্ণয়ের জন্য, লোগারিদম ব্যবহার করি। \( L \) এর লগ নেবো: \[ \ln L = \lim_{n \to \infty} \ln \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \lim_{n \to \infty} n \ln \left(1 + \frac{1}{n}\right) \] এখন, \( n \to \infty \), তাই: \[ \ln L = \lim_{n \to \infty} n \ln \left(1 + \frac{1}{n}\right) \] এখন, \( x = \frac{1}{n} \), তাহলে যখন \( n \to \infty \), তখন \( x \to 0^+ \), এবং: \[ \ln L = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln (1 + x)}{x^{-1}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1 + x)}{x} \] এখন, এই সীমা গণিতের পরিচিত সীমা: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 \] অতএব, \[ \ln L = 1 \] অর্থাৎ, \[ L = e^{1} = e \]

উপসংহার:

\[ \boxed{ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e } \]