(1-tan^2(45^o +x))/(1+tan^2(45^o +x))এর মান কোনটি?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্নে দেওয়া: \[ \frac{1 - \tan^2(45^\circ + x)}{1 + \tan^2(45^\circ + x)} \] আমরা জানি, \(\tan(45^\circ + x)\) এর জন্য একটি পরিচিত সূত্র: \[ \tan(45^\circ + x) = \frac{\tan 45^\circ + \tan x}{1 - \tan 45^\circ \tan x} = \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} \] এখন, \( \tan^2(45^\circ + x) \): \[ \tan^2(45^\circ + x) = \left(\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}\right)^2 \] এখন, মূল এক্সপ্রেশনের নামকরণ করি: \[ E = \frac{1 - \tan^2(45^\circ + x)}{1 + \tan^2(45^\circ + x)} \] প্রতিস্থাপন করি: \[ E = \frac{1 - \left(\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}\right)^2}{1 + \left(\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}\right)^2} \] সাধারনত, একটি সাধারণ রূপে আনতে: \[ E = \frac{\frac{(1 - \tan x)^2 - (1 + \tan x)^2}{(1 - \tan x)^2}}{\frac{(1 - \tan x)^2 + (1 + \tan x)^2}{(1 - \tan x)^2}} \] উভয় অংশের নীচের অংশ হলো সমান, সুতরাং: \[ E = \frac{(1 - \tan x)^2 - (1 + \tan x)^2}{(1 - \tan x)^2 + (1 + \tan x)^2} \] এখন, উভয় গুণফল খুলি: \[ (1 - \tan x)^2 = 1 - 2 \tan x + \tan^2 x \] \[ (1 + \tan x)^2 = 1 + 2 \tan x + \tan^2 x \] অতএব, \[ E = \frac{\left(1 - 2 \tan x + \tan^2 x\right) - \left(1 + 2 \tan x + \tan^2 x\right)}{\left(1 - 2 \tan x + \tan^2 x\right) + \left(1 + 2 \tan x + \tan^2 x\right)} \] সরলীকরণ করলে, উপরের অংশ: \[ (1 - 2 \tan x + \tan^2 x) - (1 + 2 \tan x + \tan^2 x) = 1 - 2 \tan x + \tan^2 x - 1 - 2 \tan x - \tan^2 x = -4 \tan x \] নিচের অংশ: \[ (1 - 2 \tan x + \tan^2 x) + (1 + 2 \tan x + \tan^2 x) = 1 - 2 \tan x + \tan^2 x + 1 + 2 \tan x + \tan^2 x = 2 + 2 \tan^2 x \] অতএব, \[ E = \frac{-4 \tan x}{2 + 2 \tan^2 x} = \frac{-4 \tan x}{2 (1 + \tan^2 x)} = \frac{-2 \tan x}{1 + \tan^2 x} \] আমরা জানি, \[ 1 + \tan^2 x = \sec^2 x \] এবং, \[ \frac{\tan x}{\sec^2 x} = \tan x \cdot \frac{1}{\sec^2 x} = \tan x \cdot \cos^2 x \] তাই, \[ E = -2 \tan x \cdot \frac{1}{\sec^2 x} = -2 \tan x \cos^2 x \] আর, \[ \boxed{ E = -2 \tan x \cos^2 x } \] কিন্তু, লক্ষ্য করুন: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] এবং, \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \] সুতরাং, \[ -2 \tan x \cos^2 x = -2 \frac{\sin x}{\cos x} \cos^2 x = -2 \sin x \cos x \] অর্থাৎ, \[ E = -2 \sin x \cos x = - \sin 2x \] **অতএব, মূল এক্সপ্রেশনের মান হল:** \[ \boxed{ \frac{1 - \tan^2(45^\circ + x)}{1 + \tan^2(45^\circ + x)} = - \sin 2x } \] **উত্তর: "- sin 2x"।**