y = x + 1 রেখাটি   x^2/a^2 - y^2/ b^2 অধিবৃত্তকে স্পর্শ করলে নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রদত্ত রেখাটি হলো: \( y = x + 1 \) প্রদত্ত অধিবৃত্ত: \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) রেখাটির অধিবৃত্তের সাথে স্পর্শ করতে হলে, রেখার সঙ্গে অধিবৃত্তের টানেন্টের সমীকরণে সমাধান একমাত্র হওয়া দরকার। অর্থাৎ, রেখা ও অধিবৃত্তের সমীকরণের সমাধানে একমাত্র সমাধান পাওয়া যাবে। প্রথমে, \( y = x + 1 \) কে অধিবৃত্তের সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি: \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{(x + 1)^2}{b^2} = 1 \] বিস্তৃতি করি: \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{x^2 + 2x + 1}{b^2} = 1 \] সমন্বয় করি: \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} - \frac{2x}{b^2} - \frac{1}{b^2} = 1 \] একত্র করি সমস্ত \(x\) সংশ্লিষ্ট টার্ম: \[ \left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right) x^2 - \frac{2x}{b^2} - \frac{1}{b^2} - 1 = 0 \] এখন, এই সমীকরণটি \(x\)-এর উপর কুইড্র্যাটিক। স্পর্শের শর্ত হলো, এই সমীকরণের discriminant = 0: \[ D = \left(- \frac{2}{b^2}\right)^2 - 4 \left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right) \left(- \frac{1}{b^2} - 1\right) = 0 \] প্রথমে, discriminant গণনা করি: \[ D = \frac{4}{b^4} - 4 \left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right) \left(- \frac{1}{b^2} - 1\right) \] ধরি: \[ \left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right) = \frac{b^2 - a^2}{a^2 b^2} \] এবং, \[ - \frac{1}{b^2} - 1 = - \frac{1}{b^2} - \frac{b^2}{b^2} = - \frac{1 + b^2}{b^2} \] সুতরাং, \[ D = \frac{4}{b^4} - 4 \times \frac{b^2 - a^2}{a^2 b^2} \times \left(- \frac{1 + b^2}{b^2}\right) \] গুণ করি: \[ D = \frac{4}{b^4} + 4 \times \frac{b^2 - a^2}{a^2 b^2} \times \frac{1 + b^2}{b^2} \] সমন্বয় করি: \[ D = \frac{4}{b^4} + 4 \times \frac{(b^2 - a^2)(1 + b^2)}{a^2 b^4} \] দুটি টার্মের সাধারণ ডিনোমিনেটর হলো \(a^2 b^4\), তাই: \[ D = \frac{4 a^2}{a^2 b^4} + \frac{4 (b^2 - a^2)(1 + b^2)}{a^2 b^4} \] একসাথে লিখলে: \[ D = \frac{4 a^2 + 4 (b^2 - a^2)(1 + b^2)}{a^2 b^4} \] সুতরাং, \[ D = 0 \Rightarrow 4 a^2 + 4 (b^2 - a^2)(1 + b^2) = 0 \] বিন্যাস করি: \[ a^2 + (b^2 - a^2)(1 + b^2) = 0 \] বিস্তৃতি করি: \[ a^2 + (b^2 - a^2) + (b^2 - a^2) b^2 = 0 \] \[ a^2 + b^2 - a^2 + b^2 (b^2 - a^2) = 0 \] সরালে: \[ b^2 + b^2 (b^2 - a^2) = 0 \] বিন্যাস করি: \[ b^2 + b^2 \times b^2 - b^2 \times a^2 = 0 \] \[ b^2 + b^4 - a^2 b^2 = 0 \] আসুন এই সমীকরণ থেকে \(a^2\) এর মান নির্ণয় করি: \[ b^2 + b^4 = a^2 b^2 \] উভয় পাশে \(b^2\) দিয়ে ভাগ করি (যখন \(b \neq 0\)): \[ \frac{b^2}{b^2} + \frac{b^4}{b^2} = a^2 \] \[ 1 + b^2 = a^2 \] অর্থাৎ, \[ a^2 = 1 + b^2 \] এখানে, \(a^2 - b^2 = 1\) **অতএব, সঠিক উত্তর হলো:** \[ \boxed{a^2 - b^2 = 1} \]