\( M \) ভরে এবং \( R \) ব্যাসার্ধের একটি চাকতি তার কেন্দ্র দিয়ে গমনকারী কোন অক্ষের সাপেক্ষে ঘুরছে। চাকতির জড়তার ভ্রমক কত?

চাকতির জড়তার ভ্রামক নির্ণয়

প্রশ্ন: \( M \) ভরে এবং \( R \) ব্যাসার্ধের একটি চাকতি তার কেন্দ্র দিয়ে গমনকারী কোন অক্ষের সাপেক্ষে ঘুরছে। চাকতির জড়তার ভ্রামক কত?

উত্তর: \( \frac{1}{2}MR^{2} \)

ব্যাখ্যা:

জড়তার ভ্রামক \( (I) \) হল ঘূর্ণন গতির ক্ষেত্রে কোন বস্তুর জড়তার পরিমাপ। এটি বস্তুর ভর এবং ঘূর্ণন অক্ষ থেকে ভরের দূরত্বের উপর নির্ভর করে।

একটি চাকতির ক্ষেত্রে, জড়তার ভ্রামক নির্ণয়ের জন্য আমরা ক্ষুদ্র ভর \( dm \) বিবেচনা করি যা অক্ষ থেকে \( r \) দূরত্বে অবস্থিত।

\( dm \) = \( \sigma dA \) , যেখানে \( \sigma \) হল ক্ষেত্রফলীয় ভর ঘনত্ব এবং \( dA \) হল ক্ষুদ্র ক্ষেত্রফল।

চাকতির ক্ষেত্রফলীয় ভর ঘনত্ব, \( \sigma = \frac{M}{\pi R^{2}} \)।

একটি ক্ষুদ্র ক্ষেত্রফল \( dA = r dr d\theta \) (পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে)।

সুতরাং, \( dm = \frac{M}{\pi R^{2}} r dr d\theta \)।

জড়তার ভ্রামক, \( I = \int r^{2} dm = \int r^{2} \frac{M}{\pi R^{2}} r dr d\theta \)।

এখানে, \( r \) এর সীমা \( 0 \) থেকে \( R \) এবং \( \theta \) এর সীমা \( 0 \) থেকে \( 2\pi \) ।

সুতরাং, \( I = \frac{M}{\pi R^{2}} \int_{0}^{R} r^{3} dr \int_{0}^{2\pi} d\theta \)।

\( I = \frac{M}{\pi R^{2}} \left[ \frac{r^{4}}{4} \right]_{0}^{R} \left[ \theta \right]_{0}^{2\pi} \)।

\( I = \frac{M}{\pi R^{2}} \cdot \frac{R^{4}}{4} \cdot 2\pi \)।

\( I = \frac{1}{2}MR^{2} \)। 🎉

অতএব, \( M \) ভরে এবং \( R \) ব্যাসার্ধের একটি চাকতির তার কেন্দ্র দিয়ে গমনকারী অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক \( \frac{1}{2}MR^{2} \)। 😊