\( a \) এর কোন মানের জন্য \( (a+2x)^6 \) এর বিস্তৃতিতে \( x^3 \) এবং \( x^4 \) এর সহগদ্বয় পরস্পর সমান হবে?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্ন অনুযায়ী, আমাদের দিতে হবে যে, \((a + 2x)^6\) এর বিস্তৃতিতে \(x^3\) এবং \(x^4\) এর সহগদ্বয় সমান হবে। অর্থাৎ, \[ \text{coefficient of } x^3 = \text{coefficient of } x^4 \] প্রথমে, বিস্তৃতির সাধারণ সহগ নির্ণয় করি। \((a + 2x)^6\) এর বিস্তার হলো: \[ (a + 2x)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} a^{6-k} (2x)^k \] অর্থাৎ, প্রতিটি টার্মের সহগ হলো: \[ \binom{6}{k} a^{6-k} 2^k x^k \] ??খন, \(x^3\) এর জন্য \(k=3\): \[ \text{coefficient of } x^3 = \binom{6}{3} a^{3} 2^3 \] এবং, \(x^4\) এর জন্য \(k=4\): \[ \text{coefficient of } x^4 = \binom{6}{4} a^{2} 2^4 \] নির্ণয় করি এগুলোর মান: \[ \binom{6}{3} = 20, \quad 2^3 = 8 \] \[ \text{coefficient of } x^3 = 20 \times a^{3} \times 8 = 160 a^{3} \] এবং, \[ \binom{6}{4} = 15, \quad 2^4 = 16 \] \[ \text{coefficient of } x^4 = 15 \times a^{2} \times 16 = 240 a^{2} \] প্রশ্ন অনুযায়ী, এই দুইটি সহগ সমান: \[ 160 a^{3} = 240 a^{2} \] উভর অংশে \(a^{2}\) ভাগ করি (এখানে \(a \neq 0\)): \[ 160 a = 240 \] \[ a = \frac{240}{160} = \frac{3}{2} \] অতএব, উত্তর হলো: \[ \boxed{\frac{3}{2}} \]