For what values of K, 3x - 4y = k will touch x² + y² - 8x =0?  

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: K এর মান কত হলে 3x - 4y = k, x² + y² - 8x = 0 বৃত্তকে স্পর্শ করবে?

সমাধান:

প্রথমে বৃত্তের সমীকরণটিকে আদর্শ আকারে প্রকাশ করি: \(x^2 + y^2 - 8x = 0\) \((x^2 - 8x) + y^2 = 0\) \((x^2 - 8x + 16) + y^2 = 16\) \((x - 4)^2 + y^2 = 4^2\) সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র \( (4, 0) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r = 4 \)। বৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত হলো, কেন্দ্র থেকে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে। সরলরেখাটি হলো \( 3x - 4y - k = 0 \)। কেন্দ্র \( (4, 0) \) থেকে \( 3x - 4y - k = 0 \) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব: \(d = \frac{|3(4) - 4(0) - k|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}\) \(d = \frac{|12 - k|}{\sqrt{9 + 16}}\) \(d = \frac{|12 - k|}{5}\) যেহেতু সরলরেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করে, তাই \( d = r \)। সুতরাং, \(\frac{|12 - k|}{5} = 4\) \(|12 - k| = 20\) এখন, দুটি সম্ভাবনা: 1. \(12 - k = 20\) \(k = 12 - 20\) \(k = -8\) 2. \(12 - k = -20\) \(k = 12 + 20\) \(k = 32\) অতএব, K এর মান \(-8\) অথবা \(32\) হলে \( 3x - 4y = k \) সরলরেখাটি \( x^2 + y^2 - 8x = 0 \) বৃত্তকে স্পর্শ করবে। 🎉 উত্তর: -8, 32 ```