2 tan^-1 x এর মান কোনটির সমান?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্ন অনুযায়ী, আমাদের মূল মানটি হলো: \[ 2 \tan^{-1} x \] আমরা এই মানটির সমান যে মানটি দেওয়া হয়েছে, সেটি হলো: \[ \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right) \] অর্থাৎ, আমাদের দেখাতে হবে: \[ 2 \tan^{-1} x = \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right) \]

প্রমাণ:

ধরি, \[ \theta = \tan^{-1} x \] অর্থাৎ, \[ \tan \theta = x \] তাহলে, \[ 2 \tan^{-1} x = 2 \theta \] আমাদের লক্ষ্য হলো, এটি কত মানের সমান, অর্থাৎ: \[ 2 \theta = \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right) \] এবং, \[ \sin \left( 2 \theta \right) = \frac{2x}{1 + x^2} \] এখন, ডাবল অ্যাঙ্কেল সূত্র অনুযায়ী, \[ \sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta \] এবং, \[ \sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \] \[ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \] অতএব, \[ \sin 2 \theta = 2 \times \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \times \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{2x}{1 + x^2} \] এটি আমাদের মূল সমীকরণে দেওয়া মানের সমান। অতএব, \[ 2 \tan^{-1} x = \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right) \]

উত্তর:

\[ \boxed{ 2 \tan^{-1} x = \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right) } \]