\( y = |x| \), \( x \)-অক্ষরেখা ও \( x= \pm 3 \) রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রফল কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্ন অনুযায়ী, আমাদের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে যেখানে: - বক্ররেখা \( y = |x| \), - রেখা \( x = 3 \), - রেখা \( x = -3 \) দ্বারা আবদ্ধ। প্রথমে, এই ক্ষেত্রের আয়তন নির্ণয় করতে আমরা ক্ষেত্রের একক \(x\)-অক্ষের উপর অবস্থিত। যেহেতু \( y = |x| \), এটি মূলত দুটি অংশে বিভক্ত: 1. \( x \geq 0 \) এর জন্য, \( y = x \), 2. \( x \leq 0 \) এর জন্য, \( y = -x \). অতএব, ক্ষেত্রটি দুই ভাগে বিভক্ত যেখানে: - ডান পাশে: \( 0 \leq x \leq 3 \), \( y = x \), - বাম পাশে: \( -3 \leq x \leq 0 \), \( y = -x \). এই ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে, আমরা দুটি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল যোগ করব। \[ A = \int_{-3}^{3} |x| \, dx \] এখানে, আমরা দুই ভাগে বিভক্ত করব: \[ A = \int_{-3}^{0} -x \, dx + \int_{0}^{3} x \, dx \] প্রথম অংশ: \[ \int_{-3}^{0} -x \, dx = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-3}^{0} = \left( -\frac{0^2}{2} \right) - \left( -\frac{(-3)^2}{2} \right) = 0 - \left( -\frac{9}{2} \right) = \frac{9}{2} \] দ্বিতীয় অংশ: \[ \int_{0}^{3} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{3} = \frac{3^2}{2} - 0 = \frac{9}{2} \] অতএব, \[ A = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} = 9 \] সুতরাং, ক্ষেত্রফল হলো: \[ \boxed{9 \text{ বর্গ একক}} \] উত্তর: **9 বর্গ একক**