```html

পরিবেশ সংক্রান্ত জাতিসংঘ সংস্থা: UNEP

জাতিসংঘ পরিবেশ কর্মসূচি (UNEP) 🌍 হলো পরিবেশের জন্য জাতিসংঘের প্রধান সংস্থা। এটি পরিবেশগত সমস্যাগুলোর সমাধানে আন্তর্জাতিক সহযোগিতা জোরদার করে এবং পরিবেশগত স্থিতিশীলতা অর্জনে সহায়তা করে। UNEP -এর সদর দপ্তর কেনিয়ার নাইরোবিতে অবস্থিত। 🇰🇪

UNEP-এর মূল কাজসমূহ:

• পরিবেশগত অবস্থা ও প্রবণতা নিরীক্ষণ এবং মূল্যায়ন 📊
• পরিবেশগত নীতি ও আইন প্রণয়নে সহায়তা ⚖️
• টেকসই উন্নয়নে উৎসাহিত করা 🌱
• পরিবেশগত শিক্ষা ও সচেতনতা বৃদ্ধি 📢
• জলবায়ু পরিবর্তন, জীববৈচিত্র্য হ্রাস এবং দূষণ মোকাবেলা ⚠️

UNEP-এর গুরুত্বপূর্ণ ক্ষেত্রসমূহ:

1. জলবায়ু পরিবর্তন: কার্বন নিঃসরণ কমানো এবং অভিযোজন ক্ষমতা বৃদ্ধি ☀️
2. দুর্যোগ ও সংঘাত: পরিবেশের উপর দুর্যোগ ও সংঘাতের প্রভাব হ্রাস 🌪️
3. ইকোসিস্টেম ব্যবস্থাপনা: বাস্তুতন্ত্রের সুরক্ষা এবং পুনরুদ্ধার 🌳
4. পরিবেশগত সুশাসন: পরিবেশ সংক্রান্ত নীতি ও আইনের প্রয়োগ 📜
5. রাসায়নিক দ্রব্য ও বর্জ্য: রাসায়নিক দ্রব্যের নিরাপদ ব্যবহার এবং বর্জ্য ব্যবস্থাপনা 🗑️
6. সম্পদ দক্ষতা: প্রাকৃতিক সম্পদের টেকসই ব্যবহার 💧

UNEP-এর কিছু গুরুত্বপূর্ণ প্রতিবেদন:

প্রতিবেদনের নাম	বিষয়বস্তু
Global Environment Outlook (GEO)	বৈশ্বিক পরিবেশের অবস্থা ও ভবিষ্যৎ 🌏
Emissions Gap Report	কার্বন নিঃসরণ হ্রাসের লক্ষ্যমাত্রা এবং বাস্তবতার মধ্যে পার্থক্য 💨
Adaptation Gap Report	জলবায়ু পরিবর্তনের প্রভাব মোকাবেলায় অভিযোজন প্রচেষ্টার অগ্রগতি 🌡️

UNEP বিশ্বব্যাপী পরিবেশ সুরক্ষায় একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। সংস্থাটি বিভিন্ন দেশ এবং সংস্থার সাথে অংশীদারিত্বের মাধ্যমে পরিবেশগত সমস্যা সমাধানে কাজ করে যাচ্ছে।🤝

আরও তথ্যের জন্য, UNEP-এর ওয়েবসাইট দেখুন: www.unep.org 🌐

```

ম্যাগনেটাইট হলো একটি গুরুত্বপূর্ণ আকরিক যা লোহা (Fe) এর প্রধান উৎস। এটি বিশেষ করে লোহা উৎপাদনের জন্য ব্যবহৃত হয়। **উপযুক্ত ব্যাখ্যা:** - **ম্যাগনেটাইট** মূলত একটি লোহার অক্সাইড (Fe₃O₄) যা প্রাকৃতিকভাবে পাওয়া যায়। - এটি **লোহার (Fe)** একটি ধাতু হিসেবে পরিচিত, যা বিভিন্ন ধাতুর মধ্যে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ এবং ব্যবহারিক। - ম্যাগনেটাইট থেকে লোহা আলাদা করার জন্য বিভিন্ন রূপান্তর প্রক্রিয়া ব্যবহৃত হয়, যেমন ব্লাস্ট ফার্নেসে গলানো। **সারাংশ:** | উপাদান | ব্যাখ্যা | |---------|-----------| | **Fe** | ম্যাগনেটাইটের মূল উপাদান, যা লোহার (Iron) প্রতীক। এটি লোহার আকরিক। | অতএব, **ম্যাগনেটাইট কোন ধাতুর আকরিক?** **উত্তর:** **Fe** (লোহা)।

```html

ভেক্টরদ্বয়ের লম্ব হওয়ার শর্ত

দুটি ভেক্টর \( \vec{X} \) এবং \( \vec{Y} \) পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত হলো তাদের ডট গুণফল শূন্য হওয়া, অর্থাৎ \( \vec{X} \cdot \vec{Y} = 0 \) 🥳।

প্রদত্ত ভেক্টরসমূহ

দেওয়া আছে, \( \vec{X} = 8\hat{i} + a\hat{j} - 6\hat{k} \) এবং \( \vec{Y} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k} \) ।

ডট গুণফল নির্ণয়

ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণফল হবে: \[ \vec{X} \cdot \vec{Y} = (8)(4) + (a)(-2) + (-6)(5) \] \[ \Rightarrow \vec{X} \cdot \vec{Y} = 32 - 2a - 30 \] \[ \Rightarrow \vec{X} \cdot \vec{Y} = 2 - 2a \]

শর্তানুসারে

যেহেতু ভেক্টরদ্বয় লম্ব, তাই \( \vec{X} \cdot \vec{Y} = 0 \) । সুতরাং, \[ 2 - 2a = 0 \] \[ \Rightarrow 2a = 2 \] \[ \Rightarrow a = \frac{2}{2} \] \[ \Rightarrow a = 1 \] অতএব, a এর মান 1 হলে ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে। 🎉 ```

মৌলের আইসোটোপের মূল কার্যকর সংখ্যার উপর নির্ভর করে **প্রোটনের সংখ্যা**। এর কারণ হলো, আইসোটোপ হলো একই মৌলের বিভিন্ন রূপ, যেখানে প্রোটনের সংখ্যা পরিবর্তিত হয় না, তবে নিউট্রনের সংখ্যা পরিবর্তিত হয়। উদাহরণস্বরূপ:

• কার্বনের আইসোটোপগুলি সমস্তই 6 প্রোটন ধারণ করে, তবে নিউট্রনের সংখ্যা পরিবর্তিত হয় (উদাহরণস্বরূপ, কার্বন-12 ও কার্বন-14)।
• প্রোটনের সংখ্যা অপরিবর্তিত থাকলে মৌলটির পরিচিতি বদলায় না, তবে নিউট্রনের সংখ্যা পরিবর্তিত হলে আইসোটোপ তৈরি হয়।

সুতরাং, মৌলের আইসোটোপের মূল কার্যকর সংখ্যা হলো **প্রোটনের সংখ্যা**, কারণ এটি মৌলের মৌলিক পরিচিতি নির্ধারণ করে।

```html

ভেক্টর গুণফল নির্ণয়

দুটি ভেক্টরের মান \(A = 8\) একক এবং \(B = 6\) একক। তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta = 30^\circ\)। আমাদের ভেক্ট?? গুণফল (\(\vec{A} \times \vec{B}\)) নির্ণয় করতে হবে।
ভেক্টর গুণফল বা ক্রস গুণফলের মান হলো: \[ |\vec{A} \times \vec{B}| = AB \sin(\theta) \] এখানে, \(A = 8\), \(B = 6\) এবং \(\theta = 30^\circ\)।
সুতরাং, \[ |\vec{A} \times \vec{B}| = 8 \times 6 \times \sin(30^\circ) \] আমরা জানি, \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\)।
অতএব, \[ |\vec{A} \times \vec{B}| = 8 \times 6 \times \frac{1}{2} = 48 \times \frac{1}{2} = 24 \]
সুতরাং, ভেক্টর গুণফলের মান 24 একক। 🎉
উত্তর: 24 একক। ```

প্রশ্নের উত্তর হলো: আলফা, বিটা, গামা রশ্মি। এই তিনটি রশ্মি তেজস্ক্রিয় পদার্থ থেকে নির্গত হয়। নিচে তাদের বিষয়ে বিস্তারিত ব্যাখ্যা দেওয়া হলো:

• আলফা রশ্মি: এটি দুটি প্রোটন এবং দুটি নিউট্রনের সমন্বয়ে গঠিত। এটি খুবই ক্ষুদ্র দৈর্ঘ্যের এবং সহজে আবদ্ধ হতে পারে। আলফা বিকিরণ সাধারণত তেজস্ক্রিয় পদার্থের উপর অবস্থান করে এবং শরীরের উপর খুব কম ক্ষতি করে যদি অন্যভাবে ভিতরে প্রবেশ না করে।
• বিটা রশ্মি: এটি ইলেকট্রনের মতো ধনাত্মক বা ঋণাত্মক চার্জধারী কণিকা। বিটা বিকিরণ সাধারণত নিউক্লিয়াসের মধ্যে থেকে নির্গত হয় এবং শরীরের ভিতরে প্রবেশ করে ক্ষতি করতে সক্ষম।
• গামা রশ্মি: এটি উচ্চ শক্তির রেডিয়েশন, যা আলফা ও বিটার তুলনায় অনেক বেশি ক্ষতিকর। গামা রশ্মি মূলত অতি শক্তিশালী ইলেকট্রোম্যাগনেটিক বিকিরণ, যা ন্যূনতম বাধা পেয়েও গভীর থেকে গভীরতর অংশে প্রবেশ করতে সক্ষম।

সুতরাং, তেজস্ক্রিয় পদার্থ থেকে নির্গত এই বিকিরণগুলোই মূলত তেজস্ক্রিয় বিকিরণ হিসেবে পরিচিত।

```html

<sub>42</sub>Mo এর ইলেকট্রন বিন্যাস

মলিbdeneাম (Mo) এর পারমাণবিক সংখ্যা ৪২। এর ইলেকট্রন বিন্যাস নির্ণয় করতে, প্রথমে আব principle ও হুন্ডের সূত্র অনুসরণ করতে হবে।

আব principle অনুসারে, ইলেকট্রন প্রথমে সর্বনিম্ন শক্তির অরবিটালে প্রবেশ করে।

পর্যায় সারণীতে মলিbdeneাম পঞ্চম পর্যায়ে অবস্থিত। এর আগের নিষ্ক্রিয় গ্যাসটি হলো ক্রিপ্টন (Kr), যার ইলেকট্রন বিন্যাস: [Ar] 3d<sup>10</sup> 4s<sup>2</sup> 4p<sup>6</sup>।

তাই, <sub>42</sub>Mo এর ইলেকট্রন বিন্যাস শুরু হবে [Kr] দিয়ে। এরপর 4d এবং 5s অরবিটাল ইলেকট্রন দ্বারা পূর্ণ হবে।

সাধারণভাবে প্রত্যাশিত ইলেকট্রন বিন্যাস: [Kr] 4d<sup>4</sup> 5s<sup>2</sup>

কিন্তু, মলিbdeneামের ক্ষেত্রে একটি ব্যতিক্রম দেখা যায়। অর্ধপূর্ণ এবং সম্পূর্ণরূপে পূর্ণ d-অরবিটাল বেশি স্থিতিশীল হওয়ার কারণে, একটি ইলেকট্রন 5s অরবিটাল থেকে 4d অরবিটালে স্থানান্তরিত হয়।

সুতরাং, সঠিক ইলেকট্রন বিন্যাস: [Kr] 4d<sup>5</sup> 5s<sup>1</sup> 🎉

এখানে, 4d<sup>5</sup> একটি অর্ধপূর্ণ d-অরবিটাল, যা 4d<sup>4</sup> 5s<sup>2</sup> বিন্যাসের চেয়ে বেশি স্থিতিশীল।

ব্যাখ্যা:

• [Kr] হলো ক্রিপ্টনের ইলেকট্রন বিন্যাস (1s<sup>2</sup> 2s<sup>2</sup> 2p<sup>6</sup> 3s<sup>2</sup> 3p<sup>6</sup> 3d<sup>10</sup> 4s<sup>2</sup> 4p<sup>6</sup>)।
• 4d<sup>5</sup> মানে d-অরবিটালে ৫টি ইলেকট্রন আছে।
• 5s<sup>1</sup> মানে s-অরবিটালে ১টি ইলেকট্রন আছে।

অতএব, <sub>42</sub>Mo এর সঠিক ইলেকট্রন বিন্যাস হলো [Kr] 4d<sup>5</sup> 5s<sup>1</sup>। 🥳

```

```html

নোবেল পুরস্কার 🏆

আলফ্রেড নোবেলের উইলের মাধ্যমে প্রতিষ্ঠিত এই পুরস্কারটি ছয়টি ক্ষেত্রে অসামান্য অবদানের জন্য দেওয়া হয়। নিচে বিষয়গুলো উল্লেখ করা হলো:

বিষয়সমূহের তালিকা 📜

• পদার্থবিজ্ঞান ⚛️
• রসায়ন 🧪
• চিকিৎসাবিদ্যা 🩺
• সাহিত্য ✍️
• শান্তি 🕊️
• অর্থনীতি 💰

পুরস্কারের বিষয়ভিত্তিক সংক্ষিপ্ত বিবরণ 📊

বিষয়	বর্ণনা
পদার্থবিজ্ঞান ⚛️	পদার্থবিজ্ঞানের বিভিন্ন ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ আবিষ্কারের জন্য এই পুরস্কার দেওয়া হয়।
রসায়ন 🧪	রসায়নের বিভিন্ন শাখায় নতুন উদ্ভাবন ও গবেষণার জন্য এই পুরস্কার দেওয়া হয়।
চিকিৎসাবিদ্যা 🩺	শারীরিক বিজ্ঞান ও চিকিৎসাবিদ্যায় গুরুত্বপূর্ণ অবদানের জন্য এই পুরস্কার দেওয়া হয়।
সাহিত্য ✍️	সাহিত্যের বিভিন্ন ধারায় (যেমন: উপন্যাস, কবিতা, নাটক) উল্লেখযোগ্য কাজের জন্য এই পুরস্কার দেওয়া হয়।
শান্তি 🕊️	বিশ্ব শান্তি প্রতিষ্ঠায় অবদান রেখেছেন এমন ব্যক্তি বা সংগঠনকে এই পুরস্কার দেওয়া হয়।
অর্থনীতি 💰	অর্থনীতিতে গুরুত্বপূর্ণ অবদানের জন্য এই পুরস্কার দেওয়া হয়। এটি আলফ্রেড নোবেলের মূল উইলের অংশ ছিল না, তবে পরবর্তীতে যুক্ত করা হয়েছে।

নোবেল পুরস্কার মানবজাতির কল্যাণে অবদান রাখা ব্যক্তিদের সম্মানিত করে। 🎉

আরও জানতে ভিজিট করুন: নোবেল পুরস্কারের ওয়েবসাইট 🌐

ধন্যবাদ 🙏

```

```html

অমিতাভ ঘোষ: ভাষাগত পরিচিতি ✍️

অমিতাভ ঘোষ একজন ভারতীয় বংশোদ্ভূত ইংরেজি ভাষার লেখক। তিনি তাঁর সাহিত্যকীর্তির জন্য বিশ্বজুড়ে খ্যাতি লাভ করেছেন। 🌍

ভাষাগত পটভূমি 🗣️

• প্রাথমিক ভাষা: যদিও তিনি ভারতে জন্মগ্রহণ করেছেন, তাঁর লেখার মূল ভাষা ইংরেজি। 🇬🇧
• অন্যান্য ভাষার প্রভাব: বাংলা এবং হিন্দি ভাষার সংস্কৃতি ও ঐতিহ্যের প্রভাব তাঁর লেখায় দেখা যায়। 🇮🇳

উল্লেখযোগ্য সাহিত্যকর্ম 📚

উপন্যাস	বিষয়বস্তু	পুরস্কার 🏆
দ্য শ্যাডো লাইনস (The Shadow Lines)	স্মৃতি, পরিচয় এবং দেশভাগের প্রেক্ষাপট	সাহিত্য আকাদেমি পুরস্কার
দ্য গ্লাস প্যালেস (The Glass Palace)	ঔপনিবেশিক বার্মা ও ভারতীয় ইতিহাস	-
আইবিস ট্রিলজি (Ibis Trilogy)	উনিশ শতকের আফিম বাণিজ্য এবং ভারত মহাসাগরের প্রেক্ষাপট	-

পুরস্কার ও স্বীকৃতি 🏅

• সাহিত্য আকাদেমি পুরস্কার 🇮🇳
• ড্যান ডেভিড প্রাইজ ✡️
• জ্ঞানপীঠ পুরস্কার 🏵️ (২০১৮)

লেখার ধরণ 🖋️

অমিতাভ ঘোষের লেখায় ইতিহাস, সংস্কৃতি এবং পরিবেশ সম্পর্কিত বিভিন্ন বিষয় বিশেষভাবে স্থান পায়। 🌿 তাঁর লেখার ভাষা সহজবোধ্য এবং আকর্ষণীয়। ✨

সুতরাং, অমিতাভ ঘোষ ইংরেজি ভাষার একজন স্বনামধন্য লেখক। 💯

```

প্রথম 'Million Dollar Grainger Challenge Award' বিজয়ী বিজ্ঞানী

প্রথম 'Million Dollar Grainger Challenge Award' জিতেছেন এমন একজন বিজ্ঞানী যিনি বাংলাদেশের নাগরিক। 🇧🇩

পুরস্কারের তাৎপর্য

• এই পুরস্কারটি বিজ্ঞান ও প্রকৌশল ক্ষেত্রে একটি বিশেষ সম্মাননা। 🏆
• এটি উদ্ভাবনী গবেষণা এবং বাস্তব সমস্যা সমাধানে অবদান রাখার স্বীকৃতি স্বরূপ দেওয়া হয়।💡
• পুরস্কারটি Grainger Foundation প্রদান করে।

Grainger Foundation সম্পর্কে

বৈশিষ্ট্য	বর্ণনা
প্রতিষ্ঠাতা	David Grainger
লক্ষ্য	শিক্ষা, বিজ্ঞান এবং স্বাস্থ্যখাতে সহায়তা করা 📚🔬🩺
অবস্থান	Lake Forest, Illinois, USA 🇺🇸

আরও কিছু তথ্য

এই অর্জন বাংলাদেশের জন্য গর্বের বিষয়। 🎉

বিজ্ঞানী এবং গবেষকদের জন্য এটি একটি অনুপ্রেরণা। 💪

আরও জানতে ভিজিট করুন: Grainger Foundation Website 🌐

ধন্যবাদ! 🙏

```html

"জননী" উপন্যাস: একটি বিশ্লেষণধর্মী আলোচনা 📚

শওকত ওসমান রচিত "জননী" উপন্যাসটি বাংলা সাহিত্যের একটি উল্লেখযোগ্য সৃষ্টি। এটি মূলত গ্রামীণ জীবনের চিত্র, সামাজিক বাস্তবতা এবং মাতৃত্বের গভীরতা ফুটিয়ে তোলে।

উপন্যাসের মূল বিষয়বস্তু 🎯

• গ্রামীণ জীবন: উপন্যাসে তৎকালীন গ্রামীণ সমাজের চালচিত্র নিখুঁতভাবে উপস্থাপন করা হয়েছে। 🏘️
• দারিদ্র্য ও সংগ্রাম: দরিদ্র মানুষের জীবনযাপন এবং বেঁচে থাকার নিরন্তর সংগ্রাম এখানে ফুটিয়ে তোলা হয়েছে। 😥
• মাতৃত্বের মহিমা: জননী মায়ের মমতা, ত্যাগ এবং সন্তানের প্রতি গভীর ভালোবাসার এক উজ্জ্বল দৃষ্টান্ত। ❤️
• সামাজিক বৈষম্য: সমাজে বিদ্যমান শ্রেণী বৈষম্য এবং কুসংস্কারের চিত্র তুলে ধরা হয়েছে। 😠
• ভাষা আন্দোলন ও রাজনৈতিক প্রেক্ষাপট: উপন্যাসের ঘটনাপ্রবাহ ভাষা আন্দোলনের প্রেক্ষাপটে বিস্তৃত। 🇧🇩

প্রধান চরিত্রসমূহ 🎭

চরিত্রের নাম	বৈশিষ্ট্য
জননী (মৃতুঞ্জয়ের মা)	উপন্যাসের প্রধান চরিত্র; স্নেহময়ী, ত্যাগী ও সংগ্রামী মা।
মৃতুঞ্জয়	জননীর বড় ছেলে; কিছুটা আবেগপ্রবণ ও আদর্শবাদী।
কলিম	জননীর ছোট ছেলে; বাস্তববাদী ও কর্মঠ।
রহিমা	মৃতুঞ্জয়ের স্ত্রী; সরল ও সংসারী।

গুরুত্বপূর্ণ দিকসমূহ 💡

1. ভাষা ও সাহিত্যিক গুণ: উপন্যাসের ভাষা সহজ ও সাবলীল এবং সাহিত্যিক মান অত্যন্ত উন্নত। ✍️
2. বাস্তবতার চিত্রণ: গ্রামীণ জীবনের বাস্তব চিত্র অত্যন্ত দক্ষতার সাথে ফুটিয়ে তোলা হয়েছে। 👍
3. সামাজিক বার্তা: উপন্যাসটি সমাজের কুসংস্কার ও বৈষম্যের বিরুদ্ধে একটি শক্তিশালী বার্তা দেয়। 📢
4. মনস্তাত্ত্বিক বিশ্লেষণ: চরিত্রগুলোর মনস্তাত্ত্বিক দিকগুলো সুন্দরভাবে বিশ্লেষণ করা হয়েছে। 🤔
5. ভাষা আন্দোলনের প্রভাব: ভাষা আন্দোলনের চেতনা উপন্যাসের একটি গুরুত্বপূর্ণ অনুষঙ্গ। ✊

উপসংহার 🏁

"জননী" উপন্যাসটি শওকত ওসমানের এক অমর সৃষ্টি। এটি বাংলা সাহিত্যের একটি মূল্যবান সম্পদ। এই উপন্যাসটি পাঠককে গ্রামীণ জীবনের কঠিন বাস্তবতা এবং মাতৃত্বের মহিমা সম্পর্কে গভীর ধারণা দেয়। ❤️🌍

আরও জানতে: উইকিপিডিয়া 📚

ধন্যবাদ! 🙏

```

```html

অরবিন্দ আদিগার: বুকার পুরস্কার বিজয়ী উপন্যাস

২০০৮ সালে অরবিন্দ আদিগার তাঁর "দ্য হোয়াইট টাইগার" উপন্যাসের জন্য বুকার পুরস্কার লাভ করেন।🏆

উপন্যাসটির সংক্ষিপ্ত বিবরণ:

• নাম: দ্য হোয়াইট টাইগার 🐅
• লেখক: অরবিন্দ আদিগা ✍️
• প্রকাশকাল: ২০০৮ 🗓️
• পুরস্কার: বুকার পুরস্কার 🥇

"দ্য হোয়াইট টাইগার" উপন্যাসের চরিত্রসমূহ:

চরিত্রের নাম	বৈশিষ্ট্য
বলরাম হলওয়াই	উপন্যাসের প্রধান চরিত্র; একজন গ্রাম থেকে উঠে আসা উচ্চাকাঙ্ক্ষী যুবক।
অশোক	বলরামের প্রভু।
পিঙ্কি ম্যাডাম	অশোকের স্ত্রী।

উপন্যাসের মূল বিষয়বস্তু:

1. শ্রেণী বৈষম্য असमानता
2. দারিদ্র্য 😥
3. নৈতিক অবক্ষয় 💔
4. আধুনিক ভারতের চিত্র 🇮🇳

কিছু গুরুত্বপূর্ণ উদ্ধৃতি:

"The world's greatest democracy is also its greatest hypocrisy."

লেখকের অন্যান্য কাজ:

• Last Man in Tower 🏢
• Selection Day 🏏

অরবিন্দ আদিগা একজন ভারতীয় লেখক যিনি তাঁর ব্যতিক্রমী লেখার মাধ্যমে আধুনিক ভারতীয় সমাজের বাস্তবতা তুলে ধরেছেন। 🌟

📖 Happy Reading! 😃

```

```html

প্রশ্ন: যদি \( \sin{\theta} = -1 \) হয়, তবে \( \theta \) এর সাধারণ মান কত?

সমাধান:

আমরা জানি, \( \sin{\theta} = -1 \) হলে, \( \theta = \frac{3\pi}{2} \) হয়। 😇

সাইন অপেক্ষকের সাধারণ সমাধান:

\( \sin{\theta} = \sin{\alpha} \) হলে, \( \theta = n\pi + (-1)^n \alpha \) যেখানে \( n \in \mathbb{Z} \). 🤔

এখানে, \( \sin{\theta} = -1 = \sin{\frac{3\pi}{2}} \). সুতরাং, \( \alpha = \frac{3\pi}{2} \).

অতএব, \( \theta = n\pi + (-1)^n \frac{3\pi}{2} \). 🤓

এখন, \( n \) এর মান জোড় ও বিজোড় হওয়ার উপর নির্ভর করে \(\theta\) এর মান:

• যদি \( n \) জোড় হয়, ধরি \( n = 2k \), যেখানে \( k \in \mathbb{Z} \). তাহলে, \( \theta = 2k\pi + \frac{3\pi}{2} = \frac{(4k+3)\pi}{2} \)
• যদি \( n \) বিজোড় হয়, ধরি \( n = 2k+1 \), যেখানে \( k \in \mathbb{Z} \). তাহলে, \( \theta = (2k+1)\pi - \frac{3\pi}{2} = \frac{(4k+2-3)\pi}{2} = \frac{(4k-1)\pi}{2} \)

উভয় ক্ষেত্রে, আমরা \(\theta\) এর মান \(\frac{(4n-1)\pi}{2}\) অথবা \(\frac{(4n+3)\pi}{2}\) আকারে লিখতে পারি। 🥰

\( \frac{(4n-1)\pi}{2} \) লিখলে সকল মান পাওয়া যায়।যেমন: n=1 হলে \( \frac{3\pi}{2} \), n=0 হলে \( -\frac{\pi}{2} \) ইত্যাদি।🎉

সুতরাং, \( \theta \) এর সাধারণ মান \( \frac{(4n-1)\pi}{2} \), যেখানে \( n \in \mathbb{Z} \).🥳

উত্তর: \((4n-1)\frac{\pi}{2}\)

```