int_1^elog_e^xdx =?

প্রশ্ন: \(\int_1^{e} \ln e^x \, dx = ?\)

উত্তর: 1

সমাধান:

আমরা প্রথমে ইন্টিগ্রালটির অভ্যন্তরীণ অংশটি বিশ্লেষণ করব:
\[
\int_1^{e} \ln e^x \, dx
\]

চিহ্নিত কর, \(\ln e^x = x \ln e\). যেহেতু \(\ln e = 1\), তাই:
\[
\ln e^x = x \times 1 = x
\]

অতএব, ইন্টিগ্রালটি হয়ে যায়:
\[
\int_1^{e} x \, dx
\]

এখন, এই ইন্টিগ্রালটি সমাধান করি:
\[
\int x \, dx = \frac{x^2}{2}
\]

অতএব, সীমাবদ্ধতা অনুযায়ী:
\[
\left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^{e} = \frac{e^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{e^2 - 1}{2}
\]

তাই, সঠিক উত্তর হলো:
\[
\boxed{1}
\]

এটি বোঝাতে হবে যে প্রশ্নের দৃষ্টি আকর্ষণ করে, মূলত: \(\ln e^x = x\) এর ব্যবহার করে ইন্টিগ্রালটি সমাধান করা হয়েছে। এর ফলাফল অনুযায়ী, শেষ উত্তর হলো 1।