\( (-9, 9) \) ও \( (5, 5) \) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ --

Another Explanation (5):

প্রশ্নের সমাধান:

দেওয়া দুইটি বিন্দু হলো: \(A(-9, 9)\) এবং \(B(5, 5)\)। আমাদের কাজ হলো এই দুই বিন্দুর সংযোজক রেখাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করা।

ধাপ ১: সংযোজক রেখার মধ্যবিন্দু নির্ণয়

মধ্যবিন্দু \(M\) এর সমীকরণ হলো: \[ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \] অর্থাৎ, \[ x_m = \frac{-9 + 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] \[ y_m = \frac{9 + 5}{2} = \frac{14}{2} = 7 \] অতএব, মধ্যবিন্দু হলো: \[ M(-2, 7) \]

ধাপ ২: সংযোজক রেখার ঢাল নির্ণয়

রেখার ঢাল \(m\) হলো: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 9}{5 - (-9)} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7} \]

ধাপ ৩: সংযোজক রেখার সমীকরণ নির্ণয়

রে???ার সমীকরণ হলো: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \] যেখানে \((x_0, y_0) = M(-2, 7)\), অতএব: \[ y - 7 = -\frac{2}{7}(x + 2) \] উপসংহার: \[ 7(y - 7) = -2(x + 2) \] \[ 7y - 49 = -2x - 4 \] \[ 2x + 7y = 45 \]

ধাপ ৪: ব্যাসের কেন্দ্র ও অক্ষাংশ নির্ণয়

ব্যাসের কেন্দ্র \(C\) হলো মধ্যবিন্দু \(M(-2, 7)\)।

ধাপ ৫: বৃত্তের রেডিয়াস নির্ণয়

রেডিয়াস হলো দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী বিন্দু থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব: \[ r = \text{distance between } C(-2, 7) \text{ and } A(-9, 9) \] \[ r = \sqrt{(-9 + 2)^2 + (9 - 7)^2} = \sqrt{(-7)^2 + 2^2} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53} \]

ধাপ ৬: বৃত্তের সমীকরণ

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \] যেখানে \((h, k)\) হলো কেন্দ্র, এবং \(r\) হলো রেডিয়াস। অতএব: \[ (x + 2)^2 + (y - 7)^2 = 53 \]

ধাপ ৭: সমীকরণকে বিকাশ করা

\[ (x + 2)^2 + (y - 7)^2 = 53 \] \[ x^2 + 4x + 4 + y^2 - 14y + 49 = 53 \] \[ x^2 + 4x + y^2 - 14y + (4 + 49) = 53 \] \[ x^2 + 4x + y^2 - 14y + 53 = 53 \] \[ x^2 + 4x + y^2 - 14y = 0 \] অতএব, বৃত্তের সমীকরণ হলো: \[ \boxed{ x^2 + y^2 + 4x - 14y = 0 } \]