|(0,1,ω),(1,ω,ω^2),(ω,1,ω^2)| এর মান কত?
Another Explanation (5):
সমাধান:
আমরা প্রদত্ত ডিটারমিন্যান্টটি হলো:
\[
\left| \begin{bmatrix}
0 & 1 & \omega \\
1 & \omega & \omega^2 \\
\omega & 1 & \omega^2
\end{bmatrix} \right|
\]
এখন, ডিটারমিন্যান্টের মান নির্ণয় করি:
\[
\det = 0 \cdot
\begin{vmatrix}
\omega & \omega^2 \\
1 & \omega^2
\end{vmatrix}
- 1 \cdot
\begin{vmatrix}
1 & \omega^2 \\
\omega & \omega^2
\end{vmatrix}
+ \omega \cdot
\begin{vmatrix}
1 & \omega \\
\omega & 1
\end{vmatrix}
\]
প্রতিটি 2x2 ডিটারমিন্যান্ট হিসাব করি:
1. \(\begin{vmatrix}
\omega & \omega^2 \\
1 & \omega^2
\end{vmatrix} = \omega \cdot \omega^2 - \omega^2 \cdot 1 = \omega \omega^2 - \omega^2 = \omega^3 - \omega^2\)
2. \(\begin{vmatrix}
1 & \omega^2 \\
\omega & \omega^2
\end{vmatrix} = 1 \cdot \omega^2 - \omega^2 \cdot \omega = \omega^2 - \omega^3\)
3. \(\begin{vmatrix}
1 & \omega \\
\omega & 1
\end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - \omega \cdot \omega = 1 - \omega^2\)
এখন, ডিটারমিন্যান্টের মান হল:
\[
\det = 0 \cdot (\omega^3 - \omega^2) - 1 \cdot (\omega^2 - \omega^3) + \omega \cdot (1 - \omega^2)
\]
সরলীকরণ করি:
\[
\det = - (\omega^2 - \omega^3) + \omega (1 - \omega^2)
\]
\[
= - \omega^2 + \omega^3 + \omega - \omega^3
\]
\[
= - \omega^2 + \cancel{\omega^3} + \omega - \cancel{\omega^3}
\]
অতএব,
\[
\det = \omega - \omega^2
\]
**অতএব,** প্রদত্ত ডিটারমিন্যান্টের মান হলো:
\[
\boxed{\omega - \omega^2}
\]