int_1^elnx dx=? 

Explanation:

Another Explanation (5):

সমাধান: \( \int_{1}^{e} \ln x \, dx \)

আমরা ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস (Integration by parts) ব্যবহার করে এই ইন্টিগ্রালটি সমাধান করতে পারি। ধরি, \( u = \ln x \) এবং \( dv = dx \) তাহলে, \( du = \frac{1}{x} dx \) এবং \( v = x \) ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস এর সূত্র: \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \) অতএব, \[ \begin{aligned} \int_{1}^{e} \ln x \, dx &= \left[ x \ln x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot \frac{1}{x} \, dx \\ &= \left[ x \ln x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 1 \, dx \\ &= \left[ x \ln x \right]_{1}^{e} - \left[ x \right]_{1}^{e} \\ &= (e \ln e - 1 \ln 1) - (e - 1) \\ &= (e \cdot 1 - 1 \cdot 0) - (e - 1) \\ &= e - (e - 1) \\ &= e - e + 1 \\ &= 1 \end{aligned} \] সুতরাং, \( \int_{1}^{e} \ln x \, dx = 1 \) 🎉।