y2 - 2x2 = 2 একটি কণিকের সমীকরণ ।কণিকটির ক্ষেত্রে - নিয়ামকের সমীকরণ √3y = ±2উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = √3 এককঅনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য = 2 একক নিচের কোনটি সঠিক ?

Another Explanation (5):

সমাধান

আমরা কণিকের সমীকরণ: \[ y^2 - 2x^2 = 2 \]

ধাপ ১: এটি একটি হাইপারবোলা

সাধারণ হাইপারবোলার সমীকরণ: \[ \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 \] আমাদের সমীকরণে: \[ y^2 - 2x^2 = 2 \] অর্থাৎ, \[ \frac{y^2}{2} - \frac{x^2}{1} = 1 \] অতএব: \[ a^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt{2} \] \[ b^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad b = 1 \]

ধাপ ২: নিয়ামকের সমীকরণ

নিয়ামকের সমীকরণ: \[ \sqrt{3} y = \pm 2 \] অর্থাৎ: \[ y = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3} \] এটি কণিকের নিয়ামক রেখা। এটি হাইপারবোলার টানজেন্টের সমীকরণ বা নিয়ামকের অবস্থান নির্দেশ করে।

ধাপ ৩: উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য

উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য (Transverse axis length): \[ 2a = 2 \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \] অর্থাৎ, এটি \( \approx 2.828 \) একক। দাখিল অনুযায়ী, এটি বলা হয়েছে: "উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = √3 একক" যেহেতু \( \sqrt{3} \approx 1.732 \), তাই এটি ভুল। কিন্তু যদি প্রশ্নের বক্তব্যে বোঝানো হয় উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = \( 2a \), তাহলে এটি \( 2\sqrt{2} \), যা আরো বেশি নয়। তবে, প্রশ্নের বিকল্পে বলা হয়েছে, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = \( \sqrt{3} \), যা অসম্ভব। তাই এই বিকল্পটি ভুল।

ধাপ ৪: অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য

অন্যদিকে, অপ্রতিষ্ঠ অক্ষের দৈর্ঘ্য: \[ 2b = 2 \times 1 = 2 \] অর্থাৎ, এটি সঠিক।

উপসংহার

- নিয়ামকের সমীকরণ (i): **সঠিক**। কারণ, এটি কণিকার নিয়ামক রেখার সমীকরণ। - উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য (ii): **ভুল**। কারণ, এটি \( 2a = 2\sqrt{2} \) বা প্রায় ২.৮২, যা \( \sqrt{3} \) নয়। - অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য (iii): **সঠিক**। কারণ, এটি 2 একক। অতএব, সঠিক উত্তর: **"i ও iii"**