যদি (0,0), (a,-4), (4,b) এবং (5,0) একটি রম্বসের শীর্ষবিন্দু হয়, তাহলে রম্বসের কর্ণ দুইটির ছেদবিন্দু কত?
প্রথমে, আমরা জানি যে, রম্বসের চারটি শীর্ষবিন্দু হল:
(0,0), (a, -4), (4, b), এবং (5, 0)।
একটি রম্বসের বৈশিষ্ট্য হলো, এর সব কোণ সমান দিগন্তবিশিষ্ট এবং প্রতিটি কোণ বিপরীত কোণের সমান হয়।
এছাড়াও, রম্বসের কোণগুলির বিপরীত কোণসমূহের মধ্যবর্তী দূরত্ব সমান এবং এর সেন্টার সবসময় শীর্ষবিন্দুগুলির মধ্যবর্তী বিন্দু।
আমাদের লক্ষ্য হলো, এই চার শীর্ষবিন্দুর মধ্যে কোন দুটি বিপরীত কোণ, এবং তাদের মধ্যবিন্দু নির্ণয় করা।
প্রথমে, ধরুন, শীর্ষবিন্দু হলো:
A = (0, 0)
B = (a, -4)
C = (4, b)
D = (5, 0)
চলুন প্রথমে, শীর্ষবিন্দুগুলির মধ্যে কোন দুটি বিপরীত কোণ সেটি নির্ণয় করি।
সাধারণত, রম্বসের বিপরীত কোণ হলো, একে অন্যের সরাসরি বিপরীত কোণ।
ধরা যাক, A এবং C বিপরীত কোণ।
তাহলে, সেন্টার হবে:
\( M_{AC} = \left( \frac{0 + 4}{2}, \frac{0 + b}{2} \right) = (2, \frac{b}{2}) \)
এবং, B এবং D বিপরীত কোণ।
তাহলে, সেন্টার হবে:
\( M_{BD} = \left( \frac{a + 5}{2}, \frac{-4 + 0}{2} \right) = \left( \frac{a + 5}{2}, -2 \right) \)
এখন, কারণ, রম্বসের সেন্টার একই, তাই:
\( (2, \frac{b}{2}) = \left( \frac{a + 5}{2}, -2 \right) \)
অর্থাৎ,
1) \( 2 = \frac{a + 5}{2} \)
2) \( \frac{b}{2} = -2 \)
প্রথম সমীকরণ থেকে,
\( 4 = a + 5 \Rightarrow a = -1 \)
দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে,
\( b = -4 \)
এখন, আমাদের চারটি শীর্ষবিন্দু হল:
(0, 0), (-1, -4), (4, -4), (5, 0)
রম্বসের কর্ণ হল সেই লাইন, যা দুটি বিপরীত কোণ সংযুক্ত করে।
আমরা এখন, এই বিপরীত কোণের মধ্যবিন্দু নির্ণয় করব।
প্রথম কর্ণের মধ্যবিন্দু:
\( C_1 = \text{Midpoint of } (0,0) \text{ and } (4,-4) \)
\( C_1 = \left( \frac{0 + 4}{2}, \frac{0 + (-4)}{2} \right) = (2, -2) \)
দ্বিতীয় কর্ণের মধ্যবিন্দু:
\( C_2 = \text{Midpoint of } (-1,-4) \text{ and } (5,0) \)
\( C_2 = \left( \frac{-1 + 5}{2}, \frac{-4 + 0}{2} \right) = (2, -2) \)
অতএব, কর্ণের দুইটির ছেদবিন্দু হল:
