y = 4x + c সরলরেখাটি y² = 32x বক্ররেখাটিকে স্পর্শ করলে, c এর মান কত ?

দেওয়া সরলরেখা: \( y = 4x + c \)

বক্ররেখা: \( y^2 = 32x \)

প্রথমে, বক্ররেখা থেকে \(x\) প্রকাশ করুন:

\( y^2 = 32x \Rightarrow x = \frac{y^2}{32} \)

সুতরাং, সরলরেখাটিকে বক্ররেখার উপর স্থানান্তর করতে, সরলরেখাটির সমীকরণে \(x\) ও \(y\) এর মান বসান:

\( y = 4x + c \Rightarrow x = \frac{y - c}{4} \)

এখন, এই মানটিকে বক্ররেখার সমীকরণে বসিয়ে সমাধান করি:

\( \frac{y - c}{4} = \frac{y^2}{32} \)

উভয় পক্ষকে 32 দিয়ে গুণ করি:

\( 8(y - c) = y^2 \)

বিস্তার করি:

\( 8y - 8c = y^2 \)

সমীকরণটি পুনর্বিন্যাস করি:

\( y^2 - 8y + 8c = 0 \)

যেহেতু সরলরেখা ও বক্ররেখার স্পর্শের জন্য, এই সমীকরণের জন্য \(y\)-এর একমাত্র সমাধান থাকতে হবে। অর্থাৎ, এর ডিচুমিন্যান্ট শূন্য হতে হবে:

\( \Delta = (-8)^2 - 4 \times 1 \times 8c = 0 \)

গণনা করি:

\( 64 - 32c = 0 \Rightarrow 32c = 64 \Rightarrow c = 2 \)

অতএব, \( c \) এর মান হলো 2.