সরলছন্দিত গতি সম্পন্ন কণার সমীকরণ d²y/dt²+y=0  হলে এর সমাধান কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্নের সমাধানটি সরলছন্দিত গতি সম্পন্ন কণার সমীকরণের জন্য। সমীকরণ হলো:

 \frac{d^2 y}{dt^2} + y = 0

এটি একটি সাধারণ হোমোজেনাস দ্বিতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, যার সাধারণ সমাধান হলো:

 y(t) = C_1 \sin t + C_2 \cos t

এখানে, \( C_1 \) ও \( C_2 \) কনস্ট্যান্ট। তবে, একে রূপান্তর করলে, এটি একটি একমুখী ধ্রুবক ফেজ সহ সাইন ফাংশনের রূপে লেখা যায়:

 y(t) = A \sin(t + \delta)

যেখানে, \( A \) হলো অ্যামপ্লিটিউড, এবং \( \delta \) হলো ফেজ অ্যাডজাস্টমেন্ট। এই রূপে, সমাধানটি বিভিন্ন সাইন ঢাল বা ফেজের জন্য উপযুক্ত। অতএব, সমাধান হলো:

 y(t) = A \sin(t + \delta)