a, b ও c এর মান কত হলে vecV = (x + y+ az)hati + (bx + 3y –z)hatj + (3x + cy + z)hatk  ভেক্টরটি অঘূর্ণনশীল হবে? 

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

অঘূর্ণনশীল ভেক্টরের শর্ত 🤔

একটি ভেক্টর \(\vec{V}\) অঘূর্ণনশীল হওয়ার শর্ত হলো: \[ \nabla \times \vec{V} = \vec{0} \] এখানে, \(\nabla\) হলো ডেল অপারেটর, যা নিম্নরূপ: \[ \nabla = \frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k} \]

সমাধান ✍️

প্রদত্ত ভেক্টরটি হলো: \[ \vec{V} = (x + y+ az)\hat{i} + (bx + 3y –z)\hat{j} + (3x + cy + z)\hat{k} \] এখন, \(\nabla \times \vec{V}\) নির্ণয় করি: \[ \nabla \times \vec{V} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x + y + az & bx + 3y - z & 3x + cy + z \end{vmatrix} \] \[ = \hat{i} \left( \frac{\partial}{\partial y}(3x + cy + z) - \frac{\partial}{\partial z}(bx + 3y - z) \right) - \hat{j} \left( \frac{\partial}{\partial x}(3x + cy + z) - \frac{\partial}{\partial z}(x + y + az) \right) + \hat{k} \left( \frac{\partial}{\partial x}(bx + 3y - z) - \frac{\partial}{\partial y}(x + y + az) \right) \] \[ = \hat{i} (c - (-1)) - \hat{j} (3 - a) + \hat{k} (b - 1) \] \[ = (c + 1)\hat{i} + (a - 3)\hat{j} + (b - 1)\hat{k} \] যেহেতু \(\vec{V}\) অঘূর্ণনশীল, তাই \(\nabla \times \vec{V} = \vec{0}\) হবে। সুতরাং, \[ c + 1 = 0 \implies c = -1 \] \[ a - 3 = 0 \implies a = 3 \] \[ b - 1 = 0 \implies b = 1 \] অতএব, \(a = 3\), \(b = 1\) এবং \(c = -1\) হলে প্রদত্ত ভেক্টরটি অঘূর্ণনশীল হবে। 🎉

ফলাফল 💯

\(a = 3\), \(b = 1\), \(c = -1\) ```