x2 + y2 - 4x - 6y + c = 0 বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করে।
স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কত?
(0, 3)
প্রশ্ন: \(x^2 + y^2 - 4x - 6y + c = 0\) এই বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করে। স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কত?
প্রথমে, বৃত্তের কেন্দ্র ও ধ্রুবক নির্ণয় করি।
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ: \[x^2 + y^2 - 4x - 6y + c = 0\]
সম্পূর্ণ বর্গ করে কেন্দ্রের কোঅর্ডিনেটগুলো নির্ণয় করি:
\[x^2 - 4x + y^2 - 6y + c = 0\]
প্রতিটি অংশ সম্পূর্ণ বর্গে রূপান্তর করি:
\[ (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = -c + 4 + 9 \]
অর্থাৎ,
\[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 13 - c \]
এখানে, কেন্দ্র হলো \((2, 3)\) এবং ব্যাসার্ধ হলো \(\sqrt{13 - c}\)।
যেহেতু বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করে, তাহলে ব্যাসার্ধ ও কেন্দ্রের মধ্যে দূরত্ব সমান হবে ব্যাসার্ধের সাথে, এবং কেন্দ্রের x-অক্ষের থেকে দূরত্ব হবে ব্যাসার্ধের সমান।
কেন্দ্রের x-অক্ষ থেকে দূরত্ব: \(|x_{কেন্দ্র} - 0| = |2| = 2\)
যেহেতু বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করে, তাই:
দূরত্ব = ব্যাসার্ধ = \(\sqrt{13 - c}\)
অর্থাৎ,
\[ 2 = \sqrt{13 - c} \] \[ (2)^2 = 13 - c \] \[ 4 = 13 - c \] \[ c = 13 - 4 = 9 \]এখন, স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি।
যেহেতু এটি y-অক্ষের স্পর্শ বিন্দু, তাই x-অক্ষের মান 0 এবং y-অক্ষের উপর বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে \((0, y)\)।
স্পর্শ বিন্দু তখন বৃত্তের সমীকরণে বসালে:
\[ (0 - 2)^2 + (y - 3)^2 = 13 - c = 4 \] \[ ( - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4 \] \[ 4 + ( y - 3)^2 = 4 \] \[ ( y - 3)^2 = 0 \] \[ y - 3 = 0 \] \[ y = 3 \]অতএব, স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক হলো \(\boxed{(0, 3)}\)।
