x এর সাপেক্ষে  cos^-1{2xsqrt(1-x^2)} এর অন্তরক-

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: \(x\) এর সাপেক্ষে \(\cos^{-1}(2x\sqrt{1-x^2})\) এর অন্তরক নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, \(y = \cos^{-1}(2x\sqrt{1-x^2})\) 🤔 ধরি, \(x = \sin\theta\) 😌 তাহলে, \(\theta = \sin^{-1}x\) হবে। এখন, \(y = \cos^{-1}(2\sin\theta\sqrt{1-\sin^2\theta})\) \(= \cos^{-1}(2\sin\theta\cos\theta)\) [ যেহেতু, \(\sqrt{1-\sin^2\theta} = \cos\theta\)] \(= \cos^{-1}(\sin2\theta)\) [ যেহেতু, \(2\sin\theta\cos\theta = \sin2\theta\)] \(= \cos^{-1}(\cos(\frac{\pi}{2} - 2\theta))\) [ যেহেতু, \(\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)\)] যেহেতু, \(x \in [-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}]\) এর জন্য \(2x\sqrt{1-x^2}\) এর মান \([-1, 1]\) এর মধ্যে থাকে, তাই \(\cos^{-1}(\cos(\frac{\pi}{2} - 2\theta)) = \frac{\pi}{2} - 2\theta\) লেখা যায়। সুতরাং, \(y = \frac{\pi}{2} - 2\theta\) \(= \frac{\pi}{2} - 2\sin^{-1}x\) [ যেহেতু, \(\theta = \sin^{-1}x\)] এখন, \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করে পাই, \(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2} - 2\sin^{-1}x)\) \(= 0 - 2\frac{d}{dx}(\sin^{-1}x)\) [ যেহেতু, \(\frac{d}{dx}(\text{ধ্রুবক}) = 0\)] \(= -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) [ যেহেতু, \(\frac{d}{dx}(\sin^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)] \(= -\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\) 😎 অতএব, নির্ণেয় অন্তরক \(\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)। 🎉 ```