2x²+3y²-4x-12y+8=0 সমীকরণটি কি প্রকাশ করে? 

Another Explanation (5):

সমীকরণের বিশ্লেষণ ও উপবৃত্তের স্বরূপ নির্ণয়

প্রদত্ত সমীকরণঃ \[ 2x^2 + 3y^2 - 4x - 12y + 8 = 0 \] প্রথমে, সমীকরণটিকে সাধারণ রূপে নিয়ে আসি এবং বর্গমূল সম্পন্ন করি।

ধাপ 1: সমীকরণের প্রত্যেকটি অংশকে গুণন বা ভাগন করে সহজ করা

সমীকরণের প্রতিটি সদস্যকে 1 দ্বারা ভাগ করি যাতে কোঅফিসিয়েন্টগুলো সহজ হয়: \[ \frac{2x^2}{2} + \frac{3y^2}{2} - \frac{4x}{2} - \frac{12y}{2} + \frac{8}{2} = 0 \] অর্থাৎ, \[ x^2 + \frac{3}{2} y^2 - 2x - 6y + 4 = 0 \] অথবা, সমীকরণটি লিখি: \[ x^2 - 2x + \frac{3}{2} y^2 - 6y + 4 = 0 \]

ধাপ 2: সমীকরণটিকে x ও y-সম্পর্কে আলাদা করে পূর্ণবর্গের রূপে রূপান্তর করি

প্রথমে, x এর জন্য: \[ x^2 - 2x \] এখানে, \[ x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x - 1)^2 - 1 \] এবং, y এর জন্য: \[ \frac{3}{2} y^2 - 6y \] এখানে, y এর জন্য পূর্ণবর্গের রূপ আনার জন্য প্রথমে y এর জন্য সাধারণ রূপে লিখি: \[ \frac{3}{2} y^2 - 6 y \] প্রথমে, y এর অংশকে সম্পাদন করুন: \[ \frac{3}{2} y^2 - 6 y = \frac{3}{2} ( y^2 - 4 y ) \] এখন, y এর অংশের জন্য পূর্ণবর্গের রূপ: \[ y^2 - 4 y = ( y^2 - 4 y + 4 ) - 4 = ( y - 2 )^2 - 4 \] সুতরাং, \[ \frac{3}{2} ( y^2 - 4 y ) = \frac{3}{2} [ ( y - 2 )^2 - 4 ] = \frac{3}{2} ( y - 2 )^2 - 6 \]

ধাপ 3: সমীকরণের নতুন রূপে সংযোজন

অতএব, সমীকরণটি এখন রূপান্তরিত হয়: \[ (x - 1)^2 - 1 + \frac{3}{2} ( y - 2 )^2 - 6 + 4 = 0 \] সংকলন করি: \[ (x - 1)^2 + \frac{3}{2} ( y - 2 )^2 - 3 = 0 \] অথবা, \[ (x - 1)^2 + \frac{3}{2} ( y - 2 )^2 = 3 \]

ধাপ 4: সমীকরণটিকে মানক আকারে রূপান্তর

দ্বৈতকরণ করি যাতে বাক্যাংশটি সাধারণ আকারে আসে: \[ (x - 1)^2 + \frac{3}{2} ( y - 2 )^2 = 3 \] উভয় পাশে 2 দ্বারা ভাগ করি: \[ \frac{(x - 1)^2}{3/2} + ( y - 2 )^2 = 2 \] অথবা, \[ \frac{(x - 1)^2}{\frac{3}{2}} + \frac{( y - 2 )^2}{1} = 2 \] অথবা, \[ \frac{(x - 1)^2}{\frac{3}{2}} + \frac{( y - 2 )^2}{1} = 2 \] এখানে, \[ \frac{(x - 1)^2}{\frac{3}{2}} + \frac{( y - 2 )^2}{1} = 2 \] উদাহরণস্বরূপ, এই সমীকরণটি পরিমার্জন করলে: \[ \frac{(x - 1)^2}{1.5} + ( y - 2 )^2 = 2 \] এটি একটি দ্বৈতকোণের সাধারণ আকার, যেখানে দুইটি অক্ষের অক্ষাংশের পার্থক্য রয়েছে। তবে, মূল গুণনরূপে, এটি একটি উপবৃত্তের সমীকরণ, কারণ: - সমীকরণে \( (x - h)^2 \) ও \( (y - k)^2 \) থাকে। - কোঅফিসিয়েন্টগুলো ভিন্ন হলেও, সমীকরণের সাধারণ আকারটি উপবৃত্তের।

উপসংহার

অতএব, সমীকরণটি উপবৃত্তের রূপ প্রকাশ করে। **উত্তর:** উপবৃত্ত