f(x) = - x² - 2x + 5 হলে—

1. x > -1 এর জন্য f(x) একটি ক্রমহ্রাসমান ফাংশন
2. f(x) এর ক্ষুদ্রতম মান 6
3. f'' (0) = -2

নিচের কোনটি সঠিক? 

Another Explanation (5):

প্রশ্নের বিশ্লেষণ ও সমাধান

প্রদত্ত ফাংশন: \(f(x) = -x^2 - 2x + 5\)

ধাপ ১: প্রথম ডেরিভেটিভ (f'(x)) নির্ণয়

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2 - 2x + 5) = -2x - 2 \]

ধাপ ২: ক্রমহ্রাসমান বা বৃদ্ধি নির্ণয়

একটি ফাংশন ক্রমহ্রাসমান হলে, তার ডেরিভেটিভ নেগেটিভ হয়। অর্থাৎ, \[ f'(x) < 0 \implies -2x - 2 < 0 \] সমাধান করি: \[ -2x - 2 < 0 \implies -2x < 2 \implies x > -1 \] অতএব, **\(f(x)\) \(\textbf{ক্রমহ্রাসমান}\) হয় যখন \(x > -1\)**। অর্থাৎ, বিবৃতি (i) সঠিক।

ধাপ ৩: দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ (f''(x)) নির্ণয়

\[ f''(x) = \frac{d}{dx}(-2x - 2) = -2 \] এবং, \[ f''(0) = -2 \] অতএব, বিবৃতি (iii) সঠিক।

ধাপ ৪: ফাংশনের ক্ষুদ্রতম মান নির্ণয়

Quadratic ফাংশনের সাধারণ রূপ: \(-x^2 - 2x + 5\) অথবা, \[ f(x) = - (x^2 + 2x) + 5 \] পূর্ণবর্গের মাধ্যমে লিখি: \[ f(x) = - \left( x^2 + 2x + 1 - 1 \right) + 5 = - \left( (x + 1)^2 - 1 \right) + 5 \] \[ f(x) = - (x + 1)^2 + 1 + 5 = - (x + 1)^2 + 6 \] এখানে, \(- (x + 1)^2\) সর্বদা নেগেটিভ বা শূন্য। সুতরাং, সর্বোচ্চ মান হল যখন \((x + 1)^2 = 0\), অর্থাৎ, \(x = -1\)। ফাংশনের সর্বোচ্চ মান: \[ f(-1) = 6 \] কিন্তু প্রশ্নে বলা হয়েছে, "f(x) এর ক্ষুদ্রতম মান 6"। এটি ভুল, কারণ ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 6, কিন্তু ক্ষুদ্রতম মান \(-\infty\) পর্যন্ত যায়। অর্থাৎ, বিবৃতি (ii) ভুল।

সারসংক্ষেপ

- (i) সত্য - (ii) ভুল - (iii) সত্য অতএব, উত্তর: **"i ও iii"**।