int_1^elnxdx এর মান নিচের কোনটি?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \int_1^{e} \ln x \, dx এর মান নিচের কোনটি?

উত্তর: 1

সমাধান:

আমরা এই ইন্টিগ্রালটি সমাধান করব:

\[ I = \int_1^{e} \ln x \, dx \]

প্রথমে, আমরা ইন্টিগ্রালটির জন্য ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস ব্যবহার করব।

ধরি:

\[ u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx \] \[ dv = dx \Rightarrow v = x \]

তাহলে, ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টসের সূত্র অনুযায়ী:

\[ I = uv \biggr|_1^{e} - \int_1^{e} v \, du \] \[ I = x \ln x \biggr|_1^{e} - \int_1^{e} x \cdot \frac{1}{x} dx \] \[ I = e \ln e - 1 \cdot \ln 1 - \int_1^{e} 1 \, dx \]

এখানে, \(\ln e = 1\) এবং \(\ln 1 = 0\), তাই:

\[ I = e \times 1 - 0 - (e - 1) \] \[ I = e - (e - 1) = e - e + 1 = 1 \]

অতএব, উত্তর:

1