|(x+y,x,y),(x,x+z,z),(y,z,y+z)| এর মান কোনটি?

Another Explanation (5):

সমাধান:

দেওয়া ম্যাট্রিক্সটি হলো: \[ A = \begin{bmatrix} x + y & x & y \\ x & x + z & z \\ y & z & y + z \end{bmatrix} \] আমরা এই ৩x৩ ম্যাট্রিক্সটির ডিটারমিন্যান্ট মান নির্ণয় করব: \[ |A| = \det \begin{bmatrix} x + y & x & y \\ x & x + z & z \\ y & z & y + z \end{bmatrix} \] প্রথমে, ডিটারমিন্যান্টের জন্য লোয়া অ্যাপ্লাই করব। \[ |A| = (x + y) \det \begin{bmatrix} x + z & z \\ z & y + z \end{bmatrix} - x \det \begin{bmatrix} x & z \\ y & y + z \end{bmatrix} + y \det \begin{bmatrix} x & x + z \\ y & z \end{bmatrix} \] এখন প্রতিটি ছোট ডিটারমিন্যান্ট গণনা করি: ১. \(\det \begin{bmatrix} x + z & z \\ z & y + z \end{bmatrix} = (x + z)(y + z) - z \times z = (x + z)(y + z) - z^2\) ২. \(\det \begin{bmatrix} x & z \\ y & y + z \end{bmatrix} = x(y + z) - y z = xy + xz - yz\) ৩. \(\det \begin{bmatrix} x & x + z \\ y & z \end{bmatrix} = x \times z - y(x + z) = xz - yx - yz = xz - yx - yz\) এখন, এগুলি মূল ডিটারমিন্যান্টে বসাতে পারি: \[ |A| = (x + y) [(x + z)(y + z) - z^2] - x (xy + xz - yz) + y (xz - yx - yz) \] বিভিন্ন অংশ সমাধান করি: প্রথম অংশ: \[ (x + y)(x + z)(y + z) - (x + y) z^2 \] দ্বিতীয় অংশ: \[ - x xy - x xz + x yz \] তৃতীয় অংশ: \[ + y xz - y yx - y yz \] এখন একত্র করি: \[ |A| = (x + y)(x + z)(y + z) - (x + y) z^2 - x^2 y - x^2 z + x y z + y x z - y^2 x - y^2 z \] নোট করি: - \((x + y)(x + z)(y + z)\) এর বিস্তার: \[ = (x + y)(xy + xz + yz + z^2) \\ = x(xy + xz + yz + z^2) + y(xy + xz + yz + z^2) \\ = x^2 y + x^2 z + x y z + x z^2 + y x y + y x z + y^2 z + y z^2 \] এখানে, \(y x y = x y^2\), তাহলে: \[ = x^2 y + x^2 z + x y z + x z^2 + x y^2 + x y z + y^2 z + y z^2 \] সংকলন: \[ = x^2 y + x y^2 + x^2 z + x y z + x y z + y^2 z + x z^2 + y z^2 \] অর্থাৎ: \[ = x^2 y + x y^2 + x^2 z + 2 x y z + y^2 z + x z^2 + y z^2 \] এখন, মূল ডিটারমিন্যান্ট: \[ |A| = \left[ x^2 y + x y^2 + x^2 z + 2 x y z + y^2 z + x z^2 + y z^2 \right] - (x + y) z^2 - x^2 y - x^2 z + x y z + y x z - y^2 x - y^2 z \] বিস্তারিতভাবে সংকলন করি: - \(x^2 y\) ও \(- x^2 y\) বাতিল - \(x^2 z\) ও \(- x^2 z\) বাতিল অবশিষ্ট: \[ x y^2 + 2 x y z + y^2 z + x z^2 + y z^2 - (x + y) z^2 + x y z + y x z - y^2 x - y^2 z \] নোট করি: \((x + y) z^2 = x z^2 + y z^2\) বিস্তারিত: \[ x y^2 + 2 x y z + y^2 z + x z^2 + y z^2 - x z^2 - y z^2 + x y z + y x z - y^2 x - y^2 z \] সরাসরি বাতিল: - \(x z^2\) ও \(- x z^2\) বাতিল - \(y z^2\) ও \(- y z^2\) বাতিল অবশিষ্ট: \[ x y^2 + 2 x y z + y^2 z + x y z + y x z - y^2 x - y^2 z \] জানাই যে, \(x y z\) ও \(y x z\) সমান, কারণ কম্পিউটার ভাষায় অর্ডার অপরিবর্তিত। সুতরাং, \(x y z + y x z = 2 x y z\). এখন, যোগ করি: \[ x y^2 + 2 x y z + y^2 z + 2 x y z - y^2 x - y^2 z \] বিস্তারিত: \[ x y^2 - y^2 x + 2 x y z + 2 x y z + y^2 z - y^2 z \] নোট করি: - \(x y^2 - y^2 x = 0\) - \(y^2 z - y^2 z = 0\) অতএব, অবশিষ্ট: \[ 4 x y z \] এবং মনে রাখি আমাদের মূল ডিটারমিন্যান্টের মান: \[ |A| = 4 x y z \] অতএব, ধরা যাক \(x, y, z\) ধনাত্মক বা শূন্য নয়, তাহলে: \[ |A| = \boxed{4 xyz} \]

উত্তর:

\[ \boxed{4 xyz} \]