\( y^2 - 4y - 4x + 16 = 0 \) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু কোনটি?

Another Explanation (5):

প্রশ্নের সমাধান:

Given সমীকরণ: \( y^2 - 4y - 4x + 16 = 0 \) প্রথমে, সমীকরণটিকে \(x\)-এর বিষয়ে সমাধান করি: \[ -4x = - y^2 + 4y - 16 \] অতএব, \[ x = \frac{y^2 - 4y + 16}{4} \] এখন, এই সমীকরণকে পুনরায় লিখি: \[ x = \frac{1}{4} y^2 - y + 4 \] এটি একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ, যেখানে \(x\) এর মান \(y\)-এর উপর নির্ভর করে। এটা একটি উত্থিত পরাবৃত্তের সমীকরণ, যেখানে \(x\) এর জন্য কোঅর্ডিনেট নির্ণয় করা যায়। এখন, পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু নির্ণয় করতে, আমরা এই সমীকরণের জন্য \(x\) এর সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করব। কারণ, এটি একটি কৌণিক সমীকরণ, যেখানে: \[ x = \frac{1}{4} y^2 - y + 4 \] এখানে, সর্বনিম্ন মান খুঁজতে, আমরা \(\frac{1}{4} y^2 - y + 4\) এর জন্য ডেরিভেটিভ নেব: \[ \frac{d}{dy} \left( \frac{1}{4} y^2 - y + 4 \right) = \frac{1}{2} y - 1 \] এখন, শীর্ষবিন্দু বা কোঅর্ডিনেট নির্ণয় করতে, \[ \frac{1}{2} y - 1 = 0 \] \[ \Rightarrow y = 2 \] এই মানটি ব্যবহার করে, \(x\) এর মান নির্ণয় করি: \[ x = \frac{1}{4} (2)^2 - (2) + 4 = \frac{1}{4} \times 4 - 2 + 4 = 1 - 2 + 4 = 3 \] অতএব, পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু হলো: \[ \boxed{(3, 2)} \] **উত্তর: (3, 2)**