A(-1, 0) বিন্দুটি y = x³ - 3x² - x + 3 অক্ষরেখার উপর হলে—

1. A বিন্দুতে ঢাল = 8
2. A বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ 8x - y + 8 = 0
3. A বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ x - 8y - 1 = 0

নিচের কোনটি সঠিক? 

Another Explanation (5):

প্রশ্নের সমাধান:

প্রদত্ত বিন্দু \(A(-1, 0)\) এবং রেখা \( y = x^{3} - 3x^{2} - x + 3 \) উপর অবস্থিত। প্রথমে, এই বিন্দুটি রেখার উপর আছে কিনা তা যাচাই করি।

ধাপ ১: বিন্দুটি রেখার উপর কি?

প্রতিস্থাপন করি \(x = -1\), \(y = 0\): \( y = (-1)^3 - 3(-1)^2 - (-1) + 3 \) \( y = -1 - 3(1) + 1 + 3 \) \( y = -1 - 3 + 1 + 3 = 0 \) অতএব, \(A(-1, 0)\) রেখার উপর অবস্থিত।

ধাপ ২: রেখার ধারা ও ঢাল নির্ণয়

প্রথমে, রেখার ধারা খুঁজে বের করি। ধারা পেতে \( y = x^{3} - 3x^{2} - x + 3 \) এর ডেরিভেটিভ নেব: \[ \frac{dy}{dx} = 3x^{2} - 6x - 1 \] এখন, বিন্দু \(x = -1\) এর জন্য: \[ \frac{dy}{dx} \bigg|_{x=-1} = 3(-1)^2 - 6(-1) - 1 = 3(1) + 6 - 1 = 3 + 6 - 1 = 8 \] অতএব, ঢাল \(m = 8\)। **উত্তর (i):** "A বিন্দুতে ঢাল = 8" --- **সঠিক।**

ধাপ ৩: স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয়

স্পর্শকের সমীকরণ: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] এখানে, \(x_1 = -1\), \(y_1= 0\), ও \(m=8\): \[ y - 0 = 8(x + 1) \] \[ y = 8x + 8 \] এখন, এই সমীকরণকে স্ট্যান্ডার্ড রূপে লিখি: \[ 8x - y + 8 = 0 \] **উত্তর (ii):** "A বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ 8x - y + 8 = 0" --- **সঠিক।**

ধাপ ৪: অভিলম্বের সমীকরণ

অভিলম্বের ঢালটি হল ডেরিভেটিভের মান, অর্থাৎ 8। অভিলম্বের সমীকরণ: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] \[ y - 0 = 8(x + 1) \] \[ y = 8x + 8 \] এটি স্পর্শকের সমীকরণের সাথে একই। তবে, প্রশ্নে দেওয়া অভিলম্বের সমীকরণ: \[ x - 8y - 1 = 0 \] এটি স্পর্শকের সমীকরণের সাথে মিলে না। কারণ, এই সমীকরণে ঢাল - \(\frac{1}{8}\) (অর্থাৎ, অভিলম্বের ঢাল নয়), ও এটি স্পর্শকের ঢাল নয়। অতএব, এই সমীকরণটি সঠিক নয়। --- ### উপসংহার: - (i) সত্য - (ii) সত্য - (iii) মিথ্যা সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো: **"i ও ii"**।