n এর মান শূন্য অথবা যেকোনো পূর্ণ সংখ্যা হলে cos {(2n+1)π +π/3} এর মান কত?
সঠিক উত্তরঃ
D.
-1/2
Another Explanation (5):
প্রশ্নের সমাধান
আমরা জানতে চাই
\(\cos \left( (2n + 1)\pi + \frac{\pi}{3} \right)\)
ধাপে ধাপে সমাধান:
- প্রথমে, আমরা জানি যে,
\(\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B\) - তবে এখানে, মূল শর্ত হল, \(\cos\) এর আর্গুমেন্টের মধ্যে যোগফল।
- আমরা লক্ষ্য করব যে, \(\cos\) এর অ্যাঙ্গেল \((2n + 1)\pi + \frac{\pi}{3}\)
- এখানে, \((2n + 1)\pi\) হলো অংকগুণ যেকোনো পূর্ণ সংখ্যার জন্য, একটি মৌলিক অ্যাঙ্গেল যা \(\pi\) এর গুণফল।
প্রধান দিক:
আমরা জানি যে, \(\cos(x + k\pi) = (-1)^k \cos x\), যেখানে \(k\) হলো পূর্ণসংখ্যা।
এখানে, \(x = \frac{\pi}{3}\) এবং \(k = 2n + 1\)
অর্থাৎ,
\[ \cos \left( (2n + 1)\pi + \frac{\pi}{3} \right) = (-1)^{2n + 1} \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) \]এখন, \( (-1)^{2n + 1} \) এর মান নির্ণয় করি:
\[
(-1)^{2n + 1} = (-1)^{2n} \times (-1)^1 = \left( (-1)^2 \right)^n \times (-1) = 1^n \times (-1) = -1
\]
অতএব,
\[ \cos \left( (2n + 1)\pi + \frac{\pi}{3} \right) = -1 \times \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) \]
এবং, \(\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\)
অতএব, চূড়ান্ত মান:
\[ \boxed{ \cos \left( (2n + 1)\pi + \frac{\pi}{3} \right) = - \frac{1}{2} } \]