tan^2(α + π/4) − 1 / tan^2(α + π/4) + 1 = ?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ: \[ \frac{\tan^2\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) - 1}{\tan^2\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) + 1} \] প্রথমে, \(\tan\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\) এর জন্য পরিচিত ট্রিগনোমেট্রিক সূত্রটি ব্যবহার করব: \[ \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \] এখানে, \(A = \alpha\), \(B = \frac{\pi}{4}\), এবং \(\tan \frac{\pi}{4} = 1\)। অতএব, \[ \tan\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan \alpha + 1}{1 - \tan \alpha} \] আসুন, সেটির উপর ভিত্তি করে \(x = \tan \alpha\) ধরি। তাহলে, \[ t = \tan\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{x + 1}{1 - x} \] এখন, সমীকরণের বর্গ মান: \[ t^2 = \left(\frac{x + 1}{1 - x}\right)^2 \] সমীকরণে থাকা \(\tan^2(\alpha + \frac{\pi}{4})\) এর জন্য: \[ \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1} \] প্রথমে, \(t^2\) এর মান নির্ণয় করি: \[ t^2 = \frac{(x + 1)^2}{(1 - x)^2} \] এখন, এই মান দিয়ে মূল সমীকরণ লিখি: \[ \frac{\frac{(x + 1)^2}{(1 - x)^2} - 1}{\frac{(x + 1)^2}{(1 - x)^2} + 1} \] সাধারণ সূত্রে, উভয় ভগ্নাংশের লসান: \[ = \frac{\frac{(x + 1)^2 - (1 - x)^2}{(1 - x)^2}}{\frac{(x + 1)^2 + (1 - x)^2}{(1 - x)^2}} \] উভয় ভাগফলকে সাধারণ ভগ্নাংশের উপর ভাগ করলে: \[ = \frac{(x + 1)^2 - (1 - x)^2}{(x + 1)^2 + (1 - x)^2} \] এখন, উভয় বর্গের মান নির্ণয় করি: \[ (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 \] \[ (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2 \] তাহলে, \[ \text{Numerator} = (x^2 + 2x + 1) - (1 - 2x + x^2) = x^2 + 2x + 1 - 1 + 2x - x^2 = 4x \] \[ \text{Denominator} = (x^2 + 2x + 1) + (1 - 2x + x^2) = x^2 + 2x + 1 + 1 - 2x + x^2 = 2x^2 + 2 \] অতএব, \[ \frac{4x}{2x^2 + 2} = \frac{4x}{2(x^2 + 1)} = \frac{2x}{x^2 + 1} \] সুতরাং, মূল সমাধান হলো: \[ \boxed{\frac{\tan^2\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) - 1}{\tan^2\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) + 1} = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}} \] এবং, আমরা জানি, \[ \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \sin 2\alpha \] অতএব,

উত্তর:

\[ \boxed{\sin 2\alpha} \]