int_0^1xe^(x^(2))dx এর মান কত?

প্রশ্ন: \( \int_0^1 xe^{x^2} dx \) এর মান কত?

সমাধান:

ধরি, \( u = x^2 \)
তাহলে, \( du = 2x dx \)
সুতরাং, \( x dx = \frac{1}{2} du \)

এখন, যখন \( x = 0 \), তখন \( u = 0^2 = 0 \) এবং যখন \( x = 1 \), তখন \( u = 1^2 = 1 \)।

অতএব, \( \int_0^1 xe^{x^2} dx = \int_0^1 e^u \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_0^1 e^u du \)

\( = \frac{1}{2} [e^u]_0^1 = \frac{1}{2} (e^1 - e^0) = \frac{1}{2} (e - 1) \)

সুতরাং, \( \int_0^1 xe^{x^2} dx = \frac{1}{2} (e - 1) \) 🥳