f(x) = (sin10x+cos10x)/sqrt(1+sin20x) , g(x) = log₂x intf(x)dx = ?  

Another Explanation (5):

প্রশ্ন:

প্রদত্ত ফাংশনসমূহ:

\(f(x) = \frac{\sin 10x + \cos 10x}{\sqrt{1 + \sin 20x}}\)

\(g(x) = \log_{2} x\)

প্রশ্ন: \(\int f(x) dx\) এর মান কী?

সমাধান:

প্রথমে, \(f(x)\) কে সহজে প্রকাশ করি:

\(f(x) = \frac{\sin 10x + \cos 10x}{\sqrt{1 + \sin 20x}}\)

ধাপ ১: মূল অংশের পরিচিতি

আমরা জানি,

\(\sin 10x + \cos 10x = \sqrt{2} \sin \left(10x + \frac{\pi}{4}\right)\)

ধাপ ২: ডেনোমিনেটরকে রূপান্তর

এ??ং, \(\sin 20x = 2 \sin 10x \cos 10x\)

তাই,

\(1 + \sin 20x = 1 + 2 \sin 10x \cos 10x\)

এটি ব্যবহার করে, আমরা লক্ষ্য করি যে:

\(\sin^2 10x + \cos^2 10x = 1\)

ধাপ ৩: মূল সমীকরণে রূপান্তর

উপযুক্ত substitution বা পরিচিতির জন্য, আমরা লক্ষ্য করি:

অথবা, অন্য উপায় হিসেবে, আমরা লক্ষ্য করি যে:

\(\sin 10x + \cos 10x = \sqrt{2} \sin \left(10x + \frac{\pi}{4}\right)\)

তাহলে,

\(f(x) = \frac{\sqrt{2} \sin \left(10x + \frac{\pi}{4}\right)}{\sqrt{1 + \sin 20x}}\)

ধাপ ৪: সম্পর্কের ব্যবহার

সাধারণত, \(\sin 20x = 2 \sin 10x \cos 10x\), এবং \(\sqrt{1 + \sin 20x}\) এর জন্য, আমরা দেখতে পাই যে:

\(\sqrt{(1 + \sin 20x)} = |\cos 10x|\)

(কারণ, \(\cos^2 10x = 1 - \sin^2 10x\), এবং \(\sqrt{1 + \sin 20x}\) এর মান \(\cos 10x\) এর ধনাত্মক অংশ হতে পারে।) অতএব, \(f(x)\) হয়: \[ f(x) = \frac{\sqrt{2} \sin \left(10x + \frac{\pi}{4}\right)}{|\cos 10x|} \] প্রথমে, ধরা যাক যে \(\cos 10x > 0\), তাহলে: \[ f(x) = \frac{\sqrt{2} \sin \left(10x + \frac{\pi}{4}\right)}{\cos 10x} \] যেখানে, \(\frac{\sin (A + B)}{\cos A} = \tan (A + B)\), যদি \(\cos A \neq 0\)। কিন্তু এখানে, \(\sin (10x + \frac{\pi}{4})\) ও \(\cos 10x\) সম্পর্কিত। অতএব, সহজতর উপায় হলো, substitution করে দেখা: ধরা যাক, \[ t = 10x \] তাহলে, \[ dt = 10 dx \Rightarrow dx = \frac{dt}{10} \] এবং, \[ f(x) dx = \frac{\sqrt{2} \sin (t + \frac{\pi}{4})}{|\cos t|} \times \frac{dt}{10} \] ধরা যাক, \(\cos t > 0\), তাহলে: \[ f(t) = \frac{\sqrt{2}}{10} \times \frac{\sin (t + \frac{\pi}{4})}{\cos t} \] এখন, \(\frac{\sin (t + \frac{\pi}{4})}{\cos t}\) কে রূপান্তর করি: \[ \sin (t + \frac{\pi}{4}) = \sin t \cos \frac{\pi}{4} + \cos t \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin t + \cos t) \] অতএব, \[ f(t) = \frac{\sqrt{2}}{10} \times \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (\sin t + \cos t)}{\cos t} = \frac{\sqrt{2}}{10} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \left(\frac{\sin t}{\cos t} + 1 \right) \] যেখানে, \[ \frac{\sqrt{2}}{10} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{10} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{10} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{10} \] অতএব, \[ f(t) dx = \frac{1}{10} (\tan t + 1) dt \] ইন্টিগ্রাল এর মান হবে: \[ \int f(x) dx = \int \frac{1}{10} (\tan t + 1) dt \] \[ = \frac{1}{10} \int \tan t dt + \frac{1}{10} \int 1 dt \] প্রতিটি ইন্টিগ্রাল সমাধান: \[ \int \tan t dt = - \ln |\cos t| + C \] এবং, \[ \int 1 dt = t + C \] অতএব, \[ \int f(x) dx = \frac{1}{10} \left( - \ln |\cos t| + t \right) + C \] পুনরায় \(t = 10x\) ব্যাক সাবস্টিটিউশনের মাধ্যমে, \[ = \frac{1}{10} \left( - \ln |\cos 10x| + 10x \right) + C \] \[ = - \frac{1}{10} \ln |\cos 10x| + x + C \] তাই, উত্তর:

\(\boxed{
\int f(x) dx = x - \frac{1}{10} \ln |\cos 10x| + C
}\)