|[a,a,x],[b,b,b],[c,x,c]| = 0 হলে, x মান কত? 

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্ন অনুযায়ী, আমাদের দেওয়া ম্যাট্রিক্সটি হলো: \[ \begin{bmatrix} a & a & x \\ b & b & b \\ c & x & c \end{bmatrix} \] এবং এর ডিটারমিন্যান্টের মান 0, অর্থাৎ: \[ \det \begin{bmatrix} a & a & x \\ b & b & b \\ c & x & c \end{bmatrix} = 0 \]

ধাপ ১: ডিটারমিন্যান্ট নির্ণয়

ডিটারমিন্যান্টের জন্য, আমরা প্রথম সারি দিয়ে কনডাকশন করি: \[ \det = a \cdot \det \begin{bmatrix} b & b \\ x & c \end{bmatrix} - a \cdot \det \begin{bmatrix} b & b \\ c & c \end{bmatrix} + x \cdot \det \begin{bmatrix} b & b \\ c & x \end{bmatrix} \]

ধাপ ২: 2x2 ম্যাট্রিক্সের ডিটারমিন্যান্ট নির্ণয়

\[ \det \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix} = p \cdot s - q \cdot r \] অতএব, 1. \(\det \begin{bmatrix} b & b \\ x & c \end{bmatrix} = b \cdot c - b \cdot x = b(c - x)\) 2. \(\det \begin{bmatrix} b & b \\ c & c \end{bmatrix} = b \cdot c - b \cdot c = 0\) 3. \(\det \begin{bmatrix} b & b \\ c & x \end{bmatrix} = b \cdot x - b \cdot c = b(x - c)\)

ধাপ ৩: ডিটারমিন্যান্টের সমীকরণ

অতএব, \[ \det = a \cdot b(c - x) - a \cdot 0 + x \cdot b(x - c) = 0 \] এখানে, \[ a \cdot b(c - x) + x \cdot b(x - c) = 0 \] বিন্যাস করি: \[ a b (c - x) + x b (x - c) = 0 \] \[ b [a (c - x) + x (x - c)] = 0 \] যেহেতু, \(b \neq 0\) (অন্যথায়, ডিটারমিন্যান্টের নির্ণয় আলাদা হবে), তাই: \[ a (c - x) + x (x - c) = 0 \] অথবা, \[ a c - a x + x^2 - c x = 0 \] এখন, \[ a c - a x - c x + x^2 = 0 \] \[ x^2 - (a + c) x + a c = 0 \]

ধাপ ৪: সমাধান

এটি একটি কোয়াড্রাটিক সমীকরণ: \[ x^2 - (a + c) x + a c = 0 \] এর সমাধান হলো: \[ x = \frac{(a + c) \pm \sqrt{(a + c)^2 - 4 a c}}{2} \] বিভিন্ন গুণফল দিয়ে, \[ (a + c)^2 - 4 a c = a^2 + 2 a c + c^2 - 4 a c = a^2 - 2 a c + c^2 = (a - c)^2 \] অতএব, \[ x = \frac{(a + c) \pm |a - c|}{2} \] এখন, দুইটি সমাধান হতে পারে: 1. যখন যোগফল হয়: \[ x = \frac{(a + c) + |a - c|}{2} \] 2. যখন বিয়োগ হয়: \[ x = \frac{(a + c) - |a - c|}{2} \] এখন, দুটি আলাদা পরিস্থিতি বিবেচনা করি: **অপশন ১: \(a \geq c\)** \[ |a - c| = a - c \] তাহলে, \[ x = \frac{a + c + (a - c)}{2} = \frac{2a}{2} = a \] অন্যটি: \[ x = \frac{a + c - (a - c)}{2} = \frac{a + c - a + c}{2} = \frac{2c}{2} = c \] **অপশন ২: \(a < c\)** \[ |a - c| = c - a \] তাহলে, \[ x = \frac{a + c + c - a}{2} = \frac{2c}{2} = c \] অন্যটি: \[ x = \frac{a + c - (c - a)}{2} = \frac{a + c - c + a}{2} = \frac{2a}{2} = a \] **সারাংশ:** \[ x = a \quad \text{বা} \quad x = c \] **উত্তর:** \[ \boxed{ x = a \quad \text{বা} \quad x = c } \] উল্লেখ্য, প্রশ্নে "উত্তর: 'a, c'" দেওয়া হয়েছে, যা আমাদের ফলাফলের সঙ্গতিপূর্ণ।