int_0^1xe^xdx  এর মান কত?

ধাপ ১: ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস সূত্র ব্যবহার করি।

\(\int u dv = uv - \int v du\)

এখানে, \(u = x\) এবং \(dv = e^x dx\) ধরি।

তাহলে, \(du = dx\) এবং \(v = \int e^x dx = e^x\) হবে।

সুতরাং,

\(\int_0^1 xe^x dx = \left[xe^x\right]_0^1 - \int_0^1 e^x dx\)

ধাপ ২: সীমা ব্যবহার করে মান নির্ণয় করি।

\(= \left[1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0\right] - \left[e^x\right]_0^1\)

\(= e - (e^1 - e^0)\)

\(= e - (e - 1)\)

\(= e - e + 1\)

\(= 1\)

অতএব, \(\int_0^1 xe^x dx = 1\) 🥳